Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC，E是內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，以下四個(gè)結(jié)論：①BE＝AE；②CE⊥AB；③△DEB是等腰三角形；④．其中正確的個(gè)數(shù)是( )

A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據(jù)E是內(nèi)心，可得出∠CAD=∠BAD，則點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，又由AC=BC，得CE⊥AB；則延長(zhǎng)BE交圓于一點(diǎn)也一定是弧AC的中點(diǎn)，則BE=AE；根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，得出三角形DEB與ABC三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等．則三角形DEB與ABC相似，從而得出第4個(gè)結(jié)論正確．

∵E是內(nèi)心，∴∠CAD=∠BAD，∠CBE=∠EBA，
點(diǎn)D為弧BC的中點(diǎn)，
∵AC=BC，且CE為∠ACB的平分線，
∴CE⊥AB（三線合一），選項(xiàng)②正確；
∵AC=BC，∠ACE=∠BCE，CE=CE，
∴△ACE≌△BCE，（SAS）
∴∠CAE=∠CBE，
∴BE=AE，選項(xiàng)①正確；
∵∠CAD=∠BAD，
∴，
∴∠DBC=∠DAB，
∴∠EAB+∠EBA=∠DBC+∠EBC，即∠DEB=∠DBE，
∴DE=DB，
∴△DEB是等腰三角形，選項(xiàng)③正確；
∵△ABC和△BED都為等腰三角形，且兩頂角∠ACB=∠EDB，
∴△ABC∽△BED，
∴，
∴=，
∵DE=DB，BE=AE，
∴，選項(xiàng)④正確，
∴正確結(jié)論有4個(gè)．
故選：D．