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11.如圖,矩形OABC的頂點A、C坐標分別是(8,0)、(0,4),反比例函數y=$\frac{k}{x}$(x>0)的圖象過對角線的交點P并且與AB、BC分別交于D、E兩點,連結OD、OE、DE,則△ODE的面積為15.

分析 設直線AC的解析式為y=ax+b,利用待定系數法求出直線AC的解析式,再由反比例函數與AC相切求出k值,由此即可找出D、E的坐標,利用分割圖形求面積法即可得出結論.

解答 解:設直線AC的解析式為y=ax+b,
則$\left\{\begin{array}{l}{0=8a+b}\\{4=b}\end{array}\right.$,解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4,
將y=$\frac{k}{x}$代入y=-$\frac{1}{2}$x+4中,整理得:x2-8x+2k=0,
∵反比例函數與直線AC只有一個交點,
∴△=(-8)2-8k=0,解得:k=8,
∴反比例函數解析式為y=$\frac{8}{x}$.
令y=$\frac{8}{x}$中x=8,則y=1,
∴D(8,1),
令y=$\frac{8}{x}$中y=4,則x=2,
∴E(2,4).
∴S△ODE=S矩形OABC-S△OCE-S△OAD-S△BDE=4×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×8-$\frac{1}{2}$×(8-2)×(4-1)=15.
故答案為:15.

點評 本題考查了待定系數法求函數解析式、根的判別式以及反比例函數圖象上點的坐標特征,解題的關鍵是求出點D、E的坐標.本題屬于中檔題,難度不大,解決該題型題目時,由相切根據根的判別式找出反比例函數解析式是關鍵.

練習冊系列答案
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