Question

【題目】如圖，等邊中，，關于軸對稱，交軸負半軸于點，．

（1）如圖1，求點坐標；

（2）如圖2，為軸負半軸上任一點，以為邊作等邊，的延長線交軸于點，求的長；

（3）如圖3，在（1）的條件下，以為頂點作的角，它的兩邊分別與、交于點和，連接．探究線段、、之間的關系，并子以證明．

Answer 1

【答案】（1）；（2）6；（3），證明詳見解析

【解析】

(1)先證∠ACO＝30°，在Rr△ACO中由勾股定理求出AC的長，再在Rt△ACD中求出CD的長，即可求出OD的長，進步寫出點D坐標；

(2)證△FCA9≌△ECB，求出∠GAO＝60°，再證△CAO2△GAO，即可得到OG＝OC＝6；

(3)如圖3，延長MA至點H，使AH＝BN，連接BD，先證△DAH≌△DBN，再證△DMI≌△DMN，即可推出AM+BN＝MN.

（1）(1)△ABC為等邊三角形，A，B關于y軸對稱，C(0，6),

∵

∴

在中設則，

∵，

∴，

解得，(取正值)，

∴

∵

∴在中，設則，

∵

解得，(取正值)

∴，

∴，

∴；

（2）、均為等邊三角形

，，

，即

在和中

，平分

．

（3），證明如下：

如圖，延長至點，使，連接、，

由題意得：，

在和中

，

，

又

，即

在和中

．