【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,延長AB至E,使AE=AC,過E作EF⊥AC于F,EF交BC于G.
(1)求證:BE=CF;
(2)若∠E=40°,求∠AGB的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)∠AGB=65°.
【解析】
(1)首先證明△ABC△AFE,推出AB=AF,即可解決問題.
(2)在Rt△BEG中,∠BGE=90°-∠E=50°,推出∠BGF=130°,由Rt△AGFRt△AGB,推出∠AGB=∠AGF=∠BGF即可解決問題.
證明:(1)∵∠ABC=90°,EF⊥AC,
∴∠ABC=∠AFE=90°
在△AEF與△ACB中
,
∴△AEF△ACB(AAS)
∴AF=AB,
∴BE=CF;
(2)∵△ABC△AFE,
∴AB=AF,
在Rt△AGF和Rt△AGB中,
∴Rt△AFGRt△ABG(HL)
在Rt△BEG中,∠BGE=90°-∠E=50°,
∴∠BGF=130°,
∵Rt△AGFRt△AGB,
∴∠AGB=∠AGF=∠BGF=65°.
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【題目】如圖,△ABC中,BD平分∠ABC,且AD⊥BD,E為AC的中點,AD=6cm,BD=8cm,BC=16cm,則DE的長為_____cm.
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【題目】已知⊙O 的直徑為 4,AB 是⊙O 的弦,∠AOB=120°,點 P 在⊙O 上,若點 P到直線 AB 的距離為 1,則∠PAB 的度數(shù)為_____.
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【題目】如圖 1,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=AC,點 D、E 分別在邊 AB、AC 上,AD=AE,連接DC,點 M、P、N 分別為 DE、DC、BC 的中點,
(1)觀察猜想:如圖 1 中,△PMN 是 三角形;
(2)探究證明:把△ADE 繞點 A 逆時針方向旋轉到圖 2 的位置,連接 MN,BD, CE.判斷△PMN 的形狀,并說明理由;
(3)拓展延伸:將△ADE 繞點 A 在平面內(nèi)自由旋轉,若 AD=4,AB=10,請求△PMN 面積的取值范圍.
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【題目】如圖,已知四邊形 ABCD 內(nèi)接于⊙O,且已知∠ADC=120°;請僅用無刻度直尺作出一個30°的圓周角.要求:
(1)保留作圖痕跡,寫出作法,寫明答案;
(2)證明你的作法的正確性.
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【題目】將長方形紙片 ABCD 沿過點 B 的直線折疊,使點 A 落在 BC 邊上的點 F 處, 折痕為 BE(如圖③);再沿過點 E 的直線折疊,使點 D 落在 BE 上的點處 D′,折痕為 EG(如圖④);再展平紙片(如圖⑤),則圖⑤中∠α=________.
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【題目】在正方形ABCD中,對角線BD所在的直線上有兩點E、F滿足BE=DF,連接AE、AF、CE、CF,如圖所示.
(1)求證:△ABE≌△ADF;
(2)試判斷四邊形AECF的形狀,并說明理由.
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【題目】如圖,直線y=2x+4分別與x軸,y軸交于B,A兩點
(1)求△ABO的面積;
(2)如果在第三象限內(nèi)有一點P(﹣1,m),請用含m的式子表示四邊形AOPB的面積;
(3)在(2)的條件下,是否存在點P,使四邊形AOPB的面積是△ABO面積的2倍?若存在,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.
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