Question

如圖，點(diǎn)A，B，C是⊙O上的點(diǎn)，∠B=60°，AC=6，CD是⊙O的直徑，E是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AE=AC．
（1）求證：AE是⊙O的切線；
（2）求ED的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，∠EAC=120°，進(jìn)而得出∠EAO=90°，即可得出答案；
（2）首先求出CD的長(zhǎng)，進(jìn)而利用切割線定理得出ED的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接AO，
∵∠B=60°，
∴∠AOC=120°，
∵AO=CO，AE=AC，
∴∠E=∠ACE，∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠E=∠ACE=∠OCA=∠OAC=30°，
∴∠EAC=120°，
∴∠EAO=90°，
∴AE是⊙O的切線；

（2）解：連接AD，
∵DC是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∵∠ECA=30°，
∴cos∠ACD=

AC

CD

=

6

DC

=

3

2

，
∴DC=4

3

，
∵AE是⊙O的切線，
∴AE²=ED×EC，
∴6²=ED（ED+4

3

），
解得：DE=

-4 3 ±8 3

2

=2

3

或-6

3

（不合題意舍去）．
∴ED的長(zhǎng)為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及切割線定理和切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出CD的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．