Question

【題目】如圖1，平行四邊形ABCD中，AB⊥AC，AB=6，AD=10，點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動，以P為圓心，PA為半徑的⊙P與對角線AC交于A，E兩點(diǎn)．

（1）如圖2，當(dāng)⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F時(shí)，求AP的長；

（2）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)⊙P與邊CD相切時(shí)，⊙P與平行四邊形ABCD的邊有三個(gè)公共點(diǎn)，隨著AP的變化，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)也在變化，若公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，直接寫出相對應(yīng)的AP的值的取值范圍　 　．

Answer 1

【答案】（1）AP=；（2）＜AP＜或AP=5．

【解析】

（1）如圖2所示，連接PF，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=8，設(shè)AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，由⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，根據(jù)已知可推導(dǎo)得出△DPF∽△DAC，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可求得AP長；

（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，如圖3，利用面積法求出PG=，然后分兩種情況①⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)，②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，分別討論即可得.

（1）如圖2所示，連接PF，

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC==8，

設(shè)AP=x，則DP=10﹣x，PF=x，

∵⊙P與邊CD相切于點(diǎn)F，

∴PF⊥CD，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∵AB⊥AC，

∴AC⊥CD，

∴AC∥PF，

∴△DPF∽△DAC，

∴，

∴，

∴x=，即AP=；

（2）當(dāng)⊙P與BC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，如圖3，

SABCD=×6×8×2=10PG，

PG=，

①當(dāng)⊙P與邊AD、CD分別有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，＜AP＜，即此時(shí)⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，

②⊙P過點(diǎn)A、C、D三點(diǎn)，如圖4，⊙P與平行四邊形ABCD的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4，

此時(shí)AP=5，

綜上所述，AP的值的取值范圍是：＜AP＜或AP=5．

故答案為：＜AP＜或AP=5．