Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，DE⊥AC，垂足為E，CF∥AB交AD延長線于點F，連接BF交⊙O于點G，連接DG．

（1）求證：DE為⊙O的切線；

（2）求證：四邊形ABFC為菱形；

（3）若OA=5，DG=2，求線段GF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4．

【解析】

（1）如圖，連接OD，由等腰三角形的性質可得∠OBD=∠ODB，∠ABC=∠ACB，可證明∠ODB=∠ACB，可得OD//AC，根據(jù)DE⊥AC可得DE⊥AC，即可證明DE為⊙O的切線；

（2）由OD//AC，OA=OB可得BD=CD，根據(jù)平行線的性質可得∠BAD=∠CFD，∠ABD=∠FCD，利用AAS可證明△ABD≌△FCD，可得AB=CF，可證明四邊形ABFC是平行四邊形，由AB=AC即可證明四邊形ABCF是菱形；

（3）根據(jù)圓內接四邊形的性質及平角的定義可得∠GDF=∠ABG，∠DGF=∠BAD，可證明△FGD∽△FAB，根據(jù)菱形的性質可得∠BAD=∠BFD，即可證明∠DGF=∠BFD，可得DG=DF，利用相似三角形的性質即可求出GF的長．

（1）連接OD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∴∠ODB=∠ACB，

∴OD∥AC，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE為⊙O的切線．

（2）由（1）得，OD∥AC，

又∵OA=OB，

∴DB=DC，

∵CF∥AB，

∴∠BAD=∠CFD，∠ABD=∠FCD，

在△ABD和△ECD中，，

∴△ABD≌△FCD，

∴AB=CF，

∴四邊形ABFC為平行四邊形，

∵AB=AC，

∴平行四邊形ABFC為菱形．

（3）∵四邊形ABGD內接于⊙O，

∴∠ABG+∠ADG=180°，∠BAD+∠BGD=180°，

∵∠GDF+∠ADG=180°，∠DGF+∠BGD=180°，

∴∠GDF=∠ABG，∠DGF=∠BAD，

∴△FGD∽△FAB，

∴，

∵AB為⊙O的直徑，OA=5，

∴AB=10，

∵四邊形ABFC為菱形，

∴∠BAD=∠BFD，AF=2DF，

∴∠DGF=∠BFD，

∴DF=DG=2，

∴AF=2DF，

∴．