Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且，．

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B、M、C，求面積的最大值；

（3）在（2）中面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）存在，Q的坐標(biāo)為或

【解析】

根據(jù)題意將、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，即可求解；

由題意設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，，即可求解；

由題意和如圖所示可知，，在中，，，，進(jìn)行分析計(jì)算即可求解．

解：將、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，解得：，

則拋物線的解析式為：；

過(guò)點(diǎn)M作y軸的平行線，交直線BC于點(diǎn)K，

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，解得：，

則直線BC的表達(dá)式為：，

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)，

，

，有最大值，

當(dāng)時(shí)，

最大值為4，

點(diǎn)M的坐標(biāo)為；

如圖所示，存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，切點(diǎn)為N，

過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，交直線AC于點(diǎn)H，

點(diǎn)M坐標(biāo)為，設(shè)：點(diǎn)Q坐標(biāo)為，

點(diǎn)A、C的坐標(biāo)為、，，

軸，

，

，則，

將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：得：，

則直線AC的表達(dá)式為：，

則點(diǎn)，

在中，，，

，

解得：或，

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或．