Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm．動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度自點(diǎn)D沿DB方向作移動(dòng)，點(diǎn)Q以1cm/s的速度自點(diǎn)B沿BC方向移動(dòng)，設(shè)P、Q移動(dòng)的時(shí)間為t秒（0＜t＜

5

2

）．
（1）寫出△PBQ的面積S（cm²）與時(shí)間t（s）之間的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式，當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值？最大值是多少？
（2）是否存在t值，使S_△PBQ=

1

3

S_△CPD．請(qǐng)你判斷，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，根據(jù)三角函數(shù)值表示出PM與PN的值，根據(jù)三角形的面積公式就可以求出S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（2）S_△PBQ=

1

3

S_△CPD時(shí)，就可以得出-

3

5

t²+

3

2

t=

1

3

×

1

2

×CD×PN，就有-

3

5

t²+

3

2

t=

1

3

×

1

2

×3×

8

5

t，求出t的值就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）作PM⊥BC于M，PN⊥CD于N，
∴∠PMB=∠PMC=∠PND=∠PNC=90°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC．∠A=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°．
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴CD=3，AD=4．
∴在Rt△BCD中，由于勾股定理，得
BD=5．
∴sin∠DBC=

3

5

，cos∠BDC=

4

5

．
∵BQ=t，DP=2t，
∴PB=5-2t．
∴PM=

3

5

（5-2t）．PN=

8

5

t．
∵S=

1

2

BQ•PM=

1

2

t•

3

5

(5-2t)=-

3

5

t²+

3

2

t=-

3

5

（t-

5

4

）²+

15

16

（0＜t＜

5

2

）．
∴當(dāng)t=

5

4

s時(shí)，S最大=

15

16

cm²．

（2）∵要使S_△PBQ=

1

3

S_△CPD，
∴-

3

5

t²+

3

2

t=

1

3

×

1

2

×3×

8

5

t，
∴6t²-7t=0
∴t₁=0，t₂=

7

6

．
∵0＜t＜

5

2

，
∴存在t值，當(dāng)t=

7

6

s時(shí)，S_△PBQ=

1

3

S_△CPD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，二次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，三角函數(shù)值的運(yùn)用，解答時(shí)求出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．