Question

如圖，△BDE是等邊三角形，∠BDC=30°，∠ABD=∠ADB=15°，∠CBD=45°．求證：△ABC是等邊三角形．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：如圖，連接EA．通過證明△BEA≌△BDC可以得到AB=BC，再根據(jù)“有一內(nèi)角為60度的等腰三角形為等邊三角形”證得結(jié)論．

解答：證明：如圖，連接EA．
∵△BDE是等邊三角形，
∵BE=DE，∠EBD=∠EDB=60°，
又∵∠ABD=∠ADB=15°，
∴AB=AD，∠EBA=∠EDA=45°，
在△BEA與△DEA中，

EB=ED ∠EBA=∠EDA AB=AD

，
∴△BEA≌△DEA（SAS），
∴∠BEA=∠DEA=30°．
∴∠BEA=∠BDC=30°．
在△BEA與△BDC中，

∠BEA=∠BDC BE=BD ∠EBA=∠CBD=45°

，
∴△BEA≌△BDC（ASA），
∴AB=CB．
又∵∠ABC=∠BCD+∠ABD=60°，
∴△ABC是等邊三角形．

點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定．證明EA平分∠BED時(shí)，也可以通過作BD邊上的垂線來證明EA是BD邊上垂線上的兩點(diǎn)，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)來推知．