Question

已知矩形紙片ABCD中，AD=6，CD=4，將紙片折疊，使點A落在CD邊上點P處（點P與C、D不重合），折痕為EF，折疊后AB邊落在PQ的位置，PQ與BC交于點G．
（1）當P位于CD邊中點時，求△PCG與△EDP的相似比；
（2）在（1）的條件下，求FG的長．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,全等三角形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)可得AE=EP，設(shè)ED=x，表示出EP，再利用勾股定理列出方程求出x，然后根據(jù)相似三角形相似比的定義解答；
（2）求出CG，再利用勾股定理列式 求出PG，然后求出QG，從而得到CG=QG，再利用“角邊角”證明△PCG和△FQG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FG=PG．

解答：解：（1）由翻折的性質(zhì)的，AE=EP，
設(shè)ED=x，則EP=AE=6-x，
∵P位于CD邊中點，
∴DP=CP=

1

2

CD=

1

2

×4=2，
在Rt△PDE中，ED²+DP²=EP²，
即x²+2²=（6-x）²，
解得x=

8

3

，
所以，

PC

ED

=

2

8 3

=

3

4

，
即△PCG與△EDP的相似比為

3

4

；

（2）∵∠EPD+∠CPG=90°，
∠EPD+∠DEP=90°，
∴∠DEP=∠CPG，
又∵∠D=∠C=90°，
∴△PCG∽△EDP，
∴

DP

CG

=

PC

ED

=

4

3

，
∴CG=

3

4

DP=

3

4

×2=

3

2

，
在Rt△CGP中，由勾股定理得，DP=

22+( 3 2 )2

=

5

2

，
∴QG=4-

5

2

=

3

2

，
∴CG=QG，
在△PCG和△FQG中，

∠PGC=∠FGQ CG=QG ∠C=∠Q=90°

，
∴△PCG≌△FQG（ASA），
∴FG=PG=

5

2

．

點評：本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用勾股定理列方程求出ED的長是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)線段的長度得到CG=QG是解題的關(guān)鍵．