Question

如圖，開口向下頂點(diǎn)為D的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，5），B（-1，0），C（5，0）與x軸交于B、C兩點(diǎn)（B在C左側(cè)），點(diǎn)A和點(diǎn)E關(guān)于拋物線對稱軸對稱．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)E的直線與拋物線的另一個交點(diǎn)為F．
①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②求四邊形ADEF的面積；
（3）若M為拋物線上一動點(diǎn)，N為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，是否存在M，N，使得以A、E、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出所有滿足條件的M、N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）可將拋物線的解析式設(shè)成交點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（2）①可先求出直線OE的解析式，然后將直線OE與拋物線的解析式聯(lián)立，組成方程組，解這個方程組就可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)；
②只需運(yùn)用割補(bǔ)法就可求出四邊形ADEF的面積．
（3）可分AE是平行四邊形的對角線和一邊這兩種情況討論，然后利用平行四邊形的性質(zhì)就可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

由于拋物線經(jīng)過點(diǎn)B（-1，0），C（5，0），
因此該拋物線解析式可設(shè)為y=a（x+1）（x-5），
把A（0，5）代入y=a（x+1）（x-5），
得-5a=5，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-5）=-x²+4x+5                        …2分

（2）①如圖2，

∵拋物線的對稱軸x=-

4

2×(-1)

=2，點(diǎn)A（0，5）和點(diǎn)E關(guān)于拋物線對稱軸對稱，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（4，5），
∴直線OE的解析式為y=

5

4

x，
解方程組

y= 5 4 x y=-x2+4x+5

，
得

x=4 y=5

，或

x=- 5 4 y=- 25 16

，
∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（-

5

4

，-

25

16

）                                         
②∵y=-x²+4x+5=-（x-2）²+9，
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，9），
∴S_{四邊形ADEF}=S_△ADE+S_△AEF
=

1

2

×4×（9-5）+

1

2

×4×（5+

25

16

）=

169

8

                             

（3）①若AE是平行四邊形的對角線，如圖3①，

則點(diǎn)M在對稱軸上，即在頂點(diǎn)D處，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)（2，9），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，1）；
②若AE是平行四邊形的一邊，如圖3①，

則有MN=AE=4，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為-2或6．
Ⅰ．當(dāng)x=-2時(shí)，y=-（-2）²+4×（-2）+5=-7，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-2，-7），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-7）；
Ⅱ．當(dāng)x=6時(shí)，y=-6²+4×6+5=-7，
此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，-7），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，-7）．
綜上所述：符合要求的點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為
M₁（-2，-7），M₂（6，-7），M₃（2，9）
N₁（2，-7），N₂（2，-7），N₃（2，1）．                        
（注：沒過程，寫對點(diǎn)的坐標(biāo)酌情扣1～2 分）

點(diǎn)評：本題考查了用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，運(yùn)用割補(bǔ)法是解決第（2）②小題的關(guān)鍵，運(yùn)用分類討論的思想是解決第（3）小題的關(guān)鍵．