Question

如圖，⊙O經過菱形ABCD的三個頂點A、C、D，且∠B=60°．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，求菱形ABCD的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,菱形的性質

專題：證明題

分析：（1）連接OA、OB、OC，如圖，根據(jù)菱形的性質得BA=BC，∠D=∠ABC=60°，則利用圓周角定理得∠AOC=2∠D=120°，再根據(jù)“SSS”判斷△OBA≌△OBC，得到∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1=

1

2

∠ABC=30°，∠3=

1

2

∠AOC=60°，于是可計算出∠OAB=90，然后根據(jù)切線的判定定理可得AB為⊙O的切線；
（2）作AM⊥BC于點M，如圖，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△OAB中計算出AB=

3

OA=

3

，在Rt△ABM中計算出BM=

1

2

AB=

3

2

，AM=

3

BM=

3

2

，
然后根據(jù)菱形的面積公式求解．

解答：（1）證明：連接OA、OB、OC，如圖，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BA=BC，∠D=∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠D=120°，
在△OBA和△OBC中

OA=OC OB=OB AB=CB

，
∴△OBA≌△OBC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=

1

2

∠ABC=30°，∠3=

1

2

∠AOC=60°，
∴∠OAB=180°-∠1-∠3=90，
∴OA⊥AB，
∴AB為⊙O的切線；
（2）解：作AM⊥BC于點M，如圖，
⊙O的半徑為1，即OA=1，
在Rt△OAB中，∵∠1=30°，
∴AB=

3

OA=

3

，
在Rt△ABM中，∵∠BAM=30°，
∴BM=

1

2

AB=

3

2

，
∴AM=

3

BM=

3

2

，
∵BC=AB=

3

，
∴S_菱形ABCD=

3

2

•

3

=

3 3

2

．

點評：本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了菱形的性質和含30度的直角三角形三邊的關系．