Question

20．已知正△ABC內(nèi)接于圓O，四邊形DEFG為半圓O的內(nèi)接正方形（D，E在直徑上，F(xiàn)，G在半圓上的正方形），S_△ABC=a，S_{四邊形DEFG}=b，則$\frac{a}$的值等于（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{5}$
• D． $\frac{15\sqrt{3}}{16}$

Answer 1

分析 設(shè)圓O的半徑為R，由正三角形的性質(zhì)得出S_△ABC=a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$RR²，連接OF，設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為2x，則OE=x，由勾股定理和正方形的性質(zhì)得出x²=$\frac{{R}^{2}}{5}$，得出正方形DEFG的面積b=$\frac{4}{5}{R}^{2}$，即可得出結(jié)果．

解答 解：如圖所示：連接OF，
設(shè)圓O的半徑為R，
∵△ABC是正三角形，
∴S_△ABC=a=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$R²，
設(shè)正方形DEFG的邊長(zhǎng)為2x，則OE=x，
∴OF²=OE²+EF²=x²+（2x）²=5x²，
即R²=5x²，
∴x²=$\frac{{R}^{2}}{5}$，
∴正方形DEFG的面積=（2x）²=4x²⁼$\frac{4}{5}$R²，
即b=$\frac{4}{5}$R²，
∴$\frac{a}$=$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}{R}^{3}}{\frac{4}{5}{R}^{2}}$=$\frac{15\sqrt{3}}{16}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、正多邊形和圓的關(guān)系、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，把正三角形和正方形的面積用半徑R表示出來是解決問題的關(guān)鍵．