Question

【題目】如圖，O是△ABC的外心，I是△ABC的內(nèi)心，連AI并延長(zhǎng)交BC和⊙O于D、E兩點(diǎn).

（1）求證：EB＝EI；

（2）若AB＝4，AC＝3，BE＝2，求AI的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）AI=2.

【解析】分析：（1）連接IB，只需證明∠IBE=∠BIE．根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)心是三角形的角平分線的交點(diǎn),以及圓周角定理的推論即可證明.

（2）由（1）可得△BDE∽△ABE，即：DE=，再由同弦所對(duì)的圓周角相等可得：△ADC∽△ABE，即：AB·AC=AD·AE，列出等式求解即可.

詳解：（1）連BI.如圖，

∵I是△ABC的內(nèi)心，

∴∠BAE=∠CAE，∠ABI=∠CBI，

∵∠CBE=∠CAE，

∴∠BAE=∠CBE，

∴∠BIE=∠ABI+∠BAE，∠IBE=∠CBI+∠CBE，

∴∠IBE=∠BIE，

∴EB＝EI.

（2）設(shè)AI=x，由（1）可知：∠BAE=∠CBE，且∠E=∠E.

∴△BDE∽△ABE,BE2=ED·EA，即： DE=.

又∵∠E=∠C(同弦的圓周角相等)，∠BAE=∠CAE.

∴△ADC∽△ABE,AB·AC=AD·AE，

4×3=（x+2）（）,

解得x=2，即AI=2.