Question

【題目】已知直線y=﹣ x+3與兩坐標軸分別相交于A，B兩點，若點P，Q分別是線段AB，OB上的動點，且點P不與A，B重合，點Q不與O，B重合．
（1）若OP⊥AB于點P，△OPQ為等腰三角形，這時滿足條件的點Q有幾個？請直接寫出相應的OQ的長；
（2）當點P是AB的中點時，若△OPQ與△ABO相似，這時滿足條件的點Q有幾個？請分別求出相應的OQ的長；
（3）試探究是否存在以點P為直角頂點的Rt△OPQ？若存在，求出相應的OQ的范圍，并求出OQ取最小值時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，滿足條件的點Q有三個．

理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分線交OP于F，交OB于Q1．則Q1P=Q1O，△OPQ1是等腰三角形，此時OQ1= OB=2．

∵A（0，3），B（4，0），

∴OA=3，OB=4，AB=5，

∵OP⊥AB，

∴ OAOB= ABOP，

∴OP= = ，

當OQ2=OP時，△OPQ2是等腰三角形，此時OQ2= ，

當PO=PQ3時，∵PM⊥OQ3，

∴OQ3=2OM，

∵∠POM=∠POQ3，∠PMO=∠OPB，

∴△OPM∽△OBP，

∴OP2=OMOB，

∴OM= = ，

∴OQ3= ．

綜上所述，△OPQ為等腰三角形時，滿足條件的點Q有三個，OQ的長為2或 或

（2）

解：如圖2中，滿足條件的點Q有2個．

理由：作PQ1⊥OB于Q1，Q2P⊥OP于Q2，

∵PA=PB，∠AOB=90°，

∴PA=PB=PO，

∴∠POQ1=∠ABO，∵∠PQ1O=∠AOB，

∴△OPQ1∽△BAO，

∵PA=PB，PQ1∥OA，

∴OQ1=BQ1= OB=2，

∵∠POQ2=∠ABO，∠OPQ2=∠AOB，

∴△OPQ2∽△BOA，

∴ = ，

∴ = ，

∴OQ2= ，

綜上所述，△OPQ與△ABO相似時，滿足條件的點Q有2個，OQ的長為2或

（3）

解：存在．理由如下：

如圖3中，以O(shè)Q為直徑作⊙G，當⊙G與AB相切于點P時，∠OPQ=90°，此時OQ的值最�。�

∴設(shè)OG=GP=r，

∵AO=AP=3，

∴PB=AB=AP=2，

在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，

∴r2+22=（4﹣r）2，

∴r= ，

∴OQ=2r=3，

∴當3≤OQ＜4時，△OPQ可為直角三角形．

作PM⊥OB于M．

∵PM∥OA，

∴ = = ，

∴ = = ，

∴PM= ，BM= ，

∴OM=4﹣ = ，

∴OQ取最小值時點P的坐標（ ， ）

【解析】（1）如圖1中，滿足條件的點Q有三個，分三種情形討論即可①Q(mào)O=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．（2）如圖2中，滿足條件的點Q有2個．作PQ1⊥OB于Q1 ， Q2P⊥OP于Q2 ， 可以證明Q1、Q2滿足條件，理由相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．（3）存在．以O(shè)Q為直徑作⊙G，當⊙G與AB相切于點P時，∠OPQ=90°，此時OQ的值最小．由此求出OQ，即可解決問題．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．