Question

【題目】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC延長線上一點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，連接FC

．

（1）求證：∠FBC=∠CDF．

（2）作點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對稱點(diǎn)G，連接CG，F(xiàn)G．

①依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段DF，BF，CG之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) ①見解析；②BF=DF+CG，理由見解析.

【解析】分析：（1）由∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，根據(jù)等角的余角相等證明即可；

（2）①根據(jù)題意畫出圖形即可；②結(jié)論：BF=DF+CG．利用截長補(bǔ)短法，構(gòu)造相似三角形解決問題即可；

詳解：（1）證明：如圖1中，設(shè)CD交BF于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCO=90°，

∵BF⊥DE，

∴∠OFD=∠OCB=90°，

∴∠FBC+∠COB=90°，∠CDF+∠DOF=90°，

∵∠DOF=∠BOC，

∴∠FBC=∠CDF．

（2）解：①如圖2中，

②結(jié)論：BF=DF+CG．

理由：在線段FB上截取FM，使得FM=FD．

∵∠BDC=∠MDF=45°，

∴∠BDM=∠CDF，

∵==，

∴△BDM∽△CDF，

∴==，∠DBM=∠DCF，

∴BM=CF，

∴∠CFE=∠FCD+∠CDF=∠DBM+∠BDM=∠DMF=45°，

∴∠EFG=∠EFC=45°，

∴∠CFG=90°，

∵CF=FG，

∴CG=CF，

∴BM=CG，

∴BF=BM+FM=CG+DF．