Question

已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，BD為對(duì)角線，點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿折線段A-B-C以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)沿線段BD以每秒2

3

個(gè)單位長(zhǎng)度向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求BC、BD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)（與A、B不重合），求當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形AMND的面積等于為

29

2

3

？
（3）求當(dāng)t為何值時(shí)，△BMN與△ABD相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等，兩個(gè)底角相等，來作答；
（2）過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=4-2t，BN=2

3

t，然后根據(jù)題意列出代數(shù)式求值；
（3）根據(jù)相似三角形的不同的對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊分別來解答．

解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=8，∠ABC=60°，
∴梯形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABD=∠ADB=∠DBC=30°，
∴∠BDC=180°-60°-30°=90°，
∴BC=2CD=16，BD=8

3

；

（2）過點(diǎn)D作梯形ABCD的高線h，則h=4

3

，
∴S_梯形ABCD=12（AD+BC）h
=12×（8+16）×4

3

=48

3

；
S_△BDC=12BC•h
=12×16×4

3

=32

3

；
∴S_△ABD=S_梯形ABCD-S_△BDC=16

3

；
過M作MH⊥BN于H，則AM=4t，BM=8-4t，MH=12BM=4-2t，BN=2

3

t，
當(dāng)0＜4t＜8，即0＜t＜2時(shí)，點(diǎn)M在AB上，則
S_{四邊形AMND}=16

3

-12BN•MH=16

3

-12×2

3

t•（4-2t）=2

3

t²-4

3

t+16

3

（6分）
2

3

t²-4

3

t+16

3

=

29 3

2

，（7分）
解得：t₁=

1

2

，t₂=

3

2

（9分）

（3）△BMN與△ABD相似且∠ABD=∠MBN=30°
①當(dāng)△MBN∽△ABD時(shí)，

MB

BN

=

AB

BD

=

8

8 3

=

1

3

，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在AB上2

3

t=

3

(8-4t)，故t1=

4

3

；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，M在BC上2

3

t=

3

(4t-8)，故t₂=4；
②當(dāng)△NBM∽△ABD時(shí)，

NB

BM

=

AB

BD

=

8

8 3

=

1

3

，即MB=

3

NB，
當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在AB上(8-4t)=

3

•2

3

t，故t₃=

4

5

；
當(dāng)2＜t＜4時(shí)，M在BC上(4t-8)=

3

•2

3

t，故t₄=-4（舍去）．
綜上所述，當(dāng)t1=

4

3

、t₂=4或t₃=

4

5

時(shí)，△BMN與△ABD相似．

點(diǎn)評(píng)：總結(jié)：（1）等腰梯形的性質(zhì)：兩腰相等、兩個(gè)底角相等；對(duì)角線平分對(duì)角；
（2）相似三角形的判定和性質(zhì)，①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所組成的三角形與原三角形相似．相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)角相等．