Question

【題目】等邊△ABC 的邊長(zhǎng)為 4，AD 是 BC 邊上的中線，F 是邊 AD 上的動(dòng)點(diǎn)，E 是邊 AC 上的點(diǎn)， 當(dāng) AE=2，且 EF+CF 取得最小值時(shí).

（Ⅰ）能否求出∠ECF 的度數(shù)？_____（用“能”或“否”填空）；

（Ⅱ）如果能，請(qǐng)你在圖中作出點(diǎn) F（保留作圖痕跡，不寫證明）.并直接寫出∠ECF 的度 數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）能；（Ⅱ）30°．

【解析】

（Ⅰ）過E作EM∥BC，交AD于N，連接CM交AD于F，連接EF，推出M為AB中點(diǎn)，求出E和M關(guān)于AD對(duì)稱，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)求出∠ACM，即可．

（Ⅱ）由（Ⅰ）的分析可得結(jié)論.

（Ⅰ）能；

（Ⅱ）過E作EM∥BC，交AD于N，

∵AC=4，AE=2，

∴EC=2=AE，

∴AM=BM=2，

∴AM=AE，

∵AD是BC邊上的中線，△ABC是等邊三角形，

∴AD⊥BC，

∵EM∥BC，

∴AD⊥EM，

∵AM=AE，

∴E和M關(guān)于AD對(duì)稱，

連接CM交AD于F，連接EF，

則此時(shí)，EF+CF的值最小，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ACB=60°，AC=BC，

∵AM=BM，

∴∠ECF=∠ACB=30°，

故答案為30°．