Question

18．如圖，已知拋物線y=ax²-5ax+2（a≠0）與y軸交于點C，與x軸交于點A（1，0）和點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求直線BC的解析式；
（3）若點N是拋物線上的動點，且點N在第四象限內(nèi)，過點N作NH⊥x軸，垂足為H，以B，N，H為頂點的三角形是否能夠與△OBC相似？若能，請求出所有符合條件點N的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）把點A（1，0）在拋物線y=ax²-5ax+2上，解方程即可得到結論；
（2）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2，求得C（0，2），根據(jù)拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，得到B（4，0），求出直線BC的解析式y(tǒng)=-$\frac{1}{2}$x+2；
（3）設N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），根據(jù)相似三角形的性質得到$\frac{OB}{BH}=\frac{OC}{HN}$，即可得到結論．

解答 解：（1）∵點A（1，0）在拋物線y=ax²-5ax+2上，
∴a-5a+2=0，∴a=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2；

（2）把x=0代入y=$\frac{1}{2}$x²-5ax+2，
解得：y=2，
∴C（0，2），
∵拋物線的對稱軸為直線x=$\frac{5}{2}$，
∴B（4，0），
設直線BC的解析式為：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：k=-$\frac{1}{2}$，b=2，
∴直線BC的解析式為：y=-$\frac{1}{2}$x+2；

（3）設N（x，$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x+2），
當△OBC∽△HBN時，如圖，
∴$\frac{OB}{BH}=\frac{OC}{HN}$，即$\frac{4}{4-x}$=$\frac{2}{-（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2）}$，
解得：x₁=2，x₂=4（不合題意舍去），
∴N（2，-1），
當△OBC∽△NHB時，OB：HN=OC：BH，
即$\frac{4}{-（\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2）}=\frac{2}{4-x}$，
解得：x₁=5，x₂=4（不合題意舍去），
∴N（5，2）．
又∵點N在第四象限，所有N（5，2）不合題意
∴N（2，-1）時滿足條件

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的解析式，根據(jù)△OBC∽△HBN得到比例式是解題的關鍵．