Question

3．如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），且OC=3OA，直線y=x+m經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)M，使點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）設(shè)點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求使△BPC為直角三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）先把點(diǎn)B代入y=x+m，求得m的值，求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最小．把x=-1代入直線y=x+3得y的值，即可求出點(diǎn)M坐標(biāo)；
（3）設(shè)P（-1，t），又因?yàn)锽（-3，0），C（0，3），所以可得BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，再分三種情況分別討論求出符合題意t值，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答 解：（1）把B（-3，0）代入y=x+m，
得-3+m=0，m=3，
∴直線的解析式為y=x+3；
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∵OC=3OA，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b+c=0}\\{9a-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴對(duì)稱軸是直線x=-1，
設(shè)直線BC與對(duì)稱軸x=-1的交點(diǎn)為M，則此時(shí)MA+MC的值最�。�
把x=-1代入直線y=x+3得，y=2，
∴M（-1，2），
即當(dāng)點(diǎn)M到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小時(shí)M的坐標(biāo)為（-1，2）；
（3）設(shè)P（-1，t），又∵B（-3，0），C（0，3），
∴BC²=18，PB²=（-1+3）²+t²=4+t²，PC²=（-1）²+（t-3）²=t²-6t+10，
①若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，則BC²+PB²=PC²
即：18+4+t²=t²-6t+10解之得：t=-2；
②若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則BC²+PC²=PB²
即：18+t²-6t+10=4+t²解之得：t=4，
③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則PB²+PC²=BC²
即：4+t²+t²-6t+10=18解之得：t₁=$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，t₂=$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$；
綜上所述P的坐標(biāo)為（-1，-2）或（-1，4）或（-1，$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$） 或（-1，$\frac{3-\sqrt{17}}{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)（二次函數(shù)和一次函數(shù)）的解析式、利用軸對(duì)稱性質(zhì)確定線段的最小長(zhǎng)度、難度不是很大，是一道不錯(cuò)的中考?jí)狠S題．