Question

設(shè)a，b為有理數(shù)，已知A=

a+ 2

b+ 2

，B=（a+

2

）（b+

2

），滿足B=

8A

(1+A)2

的關(guān)系，試根據(jù)“

2

為無理數(shù)”，確定a與b的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：二次根式的化簡(jiǎn)求值

專題：

分析：首先將A=

a+ 2

b+ 2

，B=（a+

2

）（b+

2

），代入B=

8A

(1+A)2

，進(jìn)行整理約分，從而得出（b+a+2

2

）²=8，再利用a，b為有理數(shù)進(jìn)而求出a與b的關(guān)系．

解答：解：∵A=

a+ 2

b+ 2

，B=（a+

2

）（b+

2

），滿足B=

8A

(1+A)2

；
∴（a+

2

）（b+

2

）=

8× a+ 2 b+ 2

(1+ a+ 2 b+ 2 ) 2

，
整理得：（a+

2

）（b+

2

）=

8(a+ 2 )

(1+ a+ 2 b+ 2 ) 2(b+ 2 )

，
∴b+

2

=

8

(1+ a+ 2 b+ 2 ) 2(b+ 2 )

，
∴（1+

a+ 2

b+ 2

）²（b+

2

）²=8，
∴

(b+a+2 2 ) 2

(b+ 2 ) 2

×（b+

2

）²=8，
∴（b+a+2

2

）²=8，
∴（b+a+2

2

）=±2

2

，
∵a，b為有理數(shù)，
∴b+a+2

2

=2

2

，
∴a+b=0，
∴a，b是互為相反數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，將A，B的值代入整理計(jì)算量較大，正確地進(jìn)行約分化簡(jiǎn)是解決問題的關(guān)鍵．