【題目】在平面直角坐標系xOy中拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).
(1)求拋物線的表達式;
(2)如圖,P為線段BC上一點,過點P作y軸平行線,交拋物線于點D,當△BCD的面積最大時,求點P的坐標.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)當a=時,△BDC的面積最大,此時P點坐標為:(,);
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求解即可;
(2)先求出點B的坐標,即可得出直線BC的解析式,設(shè)P(a,3﹣a),則D(a,﹣a2+2a+3),即可得PD=﹣a2+3a,再根據(jù)三角形的面積公式即可得出S△BDC,從而可得當a=時,△BDC的面積最大,得出此時P點坐標.
(1)∵y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣1,0),C(0,3)
∴-1-b+c=0,c=3,
解得:b=2,c=3,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)在y=﹣x2+2x+3中,
當y=0時,x1=﹣1,x2=3,
即B(3,0),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+m,
∴3k+m=0,m=3,
∴直線BC的解析式為y=﹣x+3,
設(shè)P(a,3﹣a),則D(a,﹣a2+2a+3),
∴PD=(﹣a2+2a+3)﹣(3﹣a)
=﹣a2+3a,
∴S△BDC=PD·OB
=PD
=﹣(a﹣)2+,
∵﹣<0,
∴當a=時,△BDC的面積最大,此時P點坐標為:(,);
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【題目】平面直角坐標系中,點O是坐標原點,拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A、B兩點,點B的坐標為(4,0),與y軸交于點C,直線y=kx+2經(jīng)過A、C兩點.
(1)如圖1,求a、c的值;
(2)如圖2,點P為拋物線y=ax2+x+c在第一象限的圖象上一點,連接AP、CP,設(shè)點P的橫坐標為t,△ACP的面積為S,求S與t的函數(shù)解析式,并直接寫出自變量t的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,點D為線段AC上一點,直線OD與直線BC交于點E,點F是直線OD上一點,連接BP、BF、PF、PD,BF=BP,∠FBP=90°,若OE=,求直線PD的解析式.
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【題目】如圖,在河對岸有一棵大樹 A,在河岸 B 點測得 A 在北偏東 60°方向上,向東前進 200m 到達 C 點,測得 A 在北偏東 30°方向上,求河的寬度(精確到 0.1m).參考數(shù)據(jù) ≈1.414,≈1.732.
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【題目】廊橋是我國古老的文化遺產(chǎn).如圖,是某座拋物線型的廊橋示意圖,已知拋物線的函數(shù)表達式為,為保護廊橋的安全,在該拋物線上距水面高為8米的點、處要安裝兩盞警示燈,則這兩盞燈的水平距離是____米.
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【題目】如圖,將矩形MNPQ放置在矩形ABCD中,使點M,N分別在AB,AD邊上滑動,若MN=6,PN=4,在滑動過程中,點A與點P的距離AP的最大值為( 。
A. 4 B. 2 C. 7 D. 8
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【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設(shè)PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值.
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【題目】如圖是反比例函數(shù)y=的圖象,當-4≤x≤-1時,-4≤y≤-1.
(1)求該反比例函數(shù)的表達式;
(2)若點M,N分別在該反比例函數(shù)的兩支圖象上,請指出什么情況下線段MN最短(不需要證明),并注出線段MN長度的取值范圍.
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【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(﹣1,0),與y軸的交點B在(0,﹣2)和C(0,﹣1)之間(不包括這兩點),對稱軸為直線x=1,下列結(jié)論:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac﹣b2<8a;④;⑤b<c.其中含所有正確結(jié)論的選項是_____.
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【題目】如果一個正整數(shù)能表示為兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么稱這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.如:,,,因此4,12,20都是“神秘數(shù)”
(1)請說明28是否為“神秘數(shù)”;
(2)下面是兩個同學演算后的發(fā)現(xiàn),請選擇一個“發(fā)現(xiàn)”,判斷真假,并說明理由.
①小能發(fā)現(xiàn):兩個連續(xù)偶數(shù)和(其中取非負整數(shù))構(gòu)造的“神秘數(shù)”也是4的倍數(shù).
②小仁發(fā)現(xiàn):2016是“神秘數(shù)”.
提示:(2)中兩個發(fā)現(xiàn),只需解答其中一個,若兩個都做,按“小能發(fā)現(xiàn)”的解答計分.
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