Question

【題目】如圖①，將一個矩形紙片放置在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點的坐標是.點是的中點，在上取一點，將沿翻折，使點落在邊上的點處.

（Ⅰ）求點、的坐標；

（Ⅱ）如圖②，若點是線段上的一個動點（點不與點，重合），過點作于，設的長為，的面積為，試用關于的代數(shù)式表示；

（Ⅲ）在軸、軸上分別存在點、，使得四邊形的周長最小，請直接寫出四邊形的周長最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）E（3，1），F（1，2）；（Ⅱ）S=-+；（Ⅲ）5+；

【解析】

（Ⅰ）求出CF和AE的長度即可寫出點的坐標；
（Ⅱ）用x表示出PD長度，結合三角函數(shù)進一步表示DH，PH的長度，運用三角形面積公式即可求解；
（Ⅲ）作點F關于y軸的對稱點F′，點E關于x軸的對稱點E′，連接E′F′交y軸于點N，交x軸于點M，此時四邊形MNFE的周長最小，根據(jù)軸對稱的性質可得四邊形MNFE的周長=E′F′+EF，根據(jù)兩點間的距離公式即可得出結論．

（Ⅰ）∵點的坐標是，點的坐標是，

∴OA=3，AB=2

根據(jù)矩形OABC可得：AB=OC=2，BC=OA=3

由可翻折的性質可得：BF=AB=2，

∴CF=BC-BF=1，
∵點是的中點，∴AE=1，

∴E（3，1），F（1，2）；
（Ⅱ）如圖2

∵將△BDA沿BD翻折，使點A落在BC邊上的點F處，
∴BF=AB=2，
∴OD=CF=3-2=1，

∵=，OD=1，∴PD=x-1，
在Rt△ABD中，AB=2，AD=2，∴∠ADB=45°，
在Rt△PDH中，PH=DH=DP=（x-1），
∴S=×DH×PH=×（x-1）×（x-1）=-+；
（Ⅲ）如圖3

作點F關于y軸的對稱點F′，點E關于x軸的對稱點E′，連接E′F′交y軸于點N，交x軸于點M，此時四邊形MNFE的周長最小，

∵點F（1，2）關于y軸的對稱點F′（-1，2），

∵點E（3，1）關于x軸的對稱點E′（3，-1），

∴F′N=FN， E′M=EM

∴四邊形MNFE的周長=E′F′+EF=；
∴四邊形MNFE周長的最小值為：．