Question

【題目】如圖，在正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個點(diǎn)，若這2008個點(diǎn)連同正六邊形的六個頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，則該正六邊形被這些點(diǎn)分成互不重合的三角形共個.

Answer 1

【答案】4020
【解析】∵正六邊形ABCDEF內(nèi)放入2008個點(diǎn)，這2008個點(diǎn)連同正六邊形的六個頂點(diǎn)無三點(diǎn)共線，
∴共有2008+6=2014個點(diǎn)．
∵在正六邊形內(nèi)放入1個點(diǎn)時，該正六邊形被這個點(diǎn)分成互不重合的三角形共6個；即當(dāng)n=1時，有6個；
然后出現(xiàn)第2個點(diǎn)時，這個點(diǎn)必然存在于開始的6個中的某一個三角形內(nèi)，然后此點(diǎn)將那個三角形又分成3個三角形，三角形數(shù)量便增加2個；
又出現(xiàn)第3個點(diǎn)時，同理，必然出現(xiàn)在某個已存在的三角形內(nèi)，然后又將此三角形1分為3，增加2個…，
∴內(nèi)部的點(diǎn)每增加1個，三角形個數(shù)便增加2個．
于是我們得到規(guī)律：存在n個點(diǎn)時，三角形數(shù)有：6+2（n-1）=2n+4（n≥1）．
由題干知，2008個點(diǎn)的總數(shù)為2×2008+4=4020（個）．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正多邊形和圓的相關(guān)知識，掌握圓的內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角；圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等．