【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=2x+4與兩坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點.
(1)若一次函數(shù)y=﹣x+m與直線AB的交點在第二象限,求m的取值范圍;
(2)若M是y軸上一點,N是x軸上一點,直線AB上是否存在兩點P,Q,使得以M,N,P,Q四點為頂點的四邊形是正方形.若存在,求出M,N兩點的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
【答案】(1)m<4;(2)M(0,),N(﹣,0)或M(0,﹣),N(,0)或M(0,﹣4),N(﹣,0);
【解析】
(1)根據(jù)題意聯(lián)立一次函數(shù)解析式與直線AB的解析式,據(jù)此進(jìn)一步用表示出,最后根據(jù)第二象限的點的坐標(biāo)特征加以分析即可;
(2)首先求出A、B兩點坐標(biāo),然后根據(jù)題意分圖1、圖2、圖3共三種情況結(jié)合相似三角形性質(zhì)進(jìn)一步分析求解即可.
(1)聯(lián)立與,得:,
∴,
∵交點位于第二象限,
∴,
∴;
(2)當(dāng)時,,
∴A(0,4),
當(dāng)時,,即:,
∴B(,0),
∴OA=4,OB=2.
如圖1,過點Q作QH⊥軸于H,
∵MN∥AB,
∴△NMO~△BAO,
∴,
設(shè)ON=,則OM=,
∵∠MNQ=90°,
∴∠QNH+∠MNO=∠MNO+∠NMO=90°,
∴∠QNH=∠NMO,
在△QNH和△NMO中,
∵∠QNH=∠NMO,∠QHN=∠NOM,QN=MN,
∴△QNH△NMO(AAS),
∴QH=ON=,HN=OM=2,
易得:△BQH~△BAO,
∴,
∴BH=,
∵OB=BH+HN+ON,
∴2=,解得,
∴M(0,),N(,0);
如圖2,過點P作PH⊥軸于H,
易證△PNH~△BAO,
∴,
設(shè)PH=b,則NH=2b,
同理證得△PNH△NMO,
∴PH=ON=b,HN=OM=2b,
∴OH=HNOH=b,
易得:△BPH~△BAO,
∴,
∴BH=b,
∵OB=BH+OH,
∴2=b+b,解得b=,
∴M(0,),N(,0);
如圖3,過點P作PH⊥軸于H,PE⊥y軸于E,QF⊥y軸于F,
易得:△PAE~△BAO,
∴,
設(shè)PE=c,則AE=2c,
同理證得△PNH△PME,
∴PH=PE=OE=c,則AE=2c,
∵OA=AE+OE,
∴4=2c+c,解得c=,
∵△MQF△PME,
∴MF=PE=OE,EM=FQ,
∴EM=OF=FQ,設(shè)EM=OF=FQ=m,
則Q(﹣m,﹣m),代入y=2x+4中,得﹣m=﹣2m+4,解得m=4,
∴NO=NH+OH=,∴N(,0),
∵OF=m=4,
∴M(0,﹣4).
綜上所述M(0,),N(,0)或M(0,),N(,0)或M(0,﹣4),N(,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平行四邊形中,對角線、相交于,,、、分別是、、的中點,下列結(jié)論:
①;②;③;④平分;⑤四邊形是菱形.
其中正確的是( )
A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了準(zhǔn)備“歡樂頌——創(chuàng)意市場”,初2020級某同學(xué)到批發(fā)市場購買了、兩種原材料,的單價為每件6元,的單價為每件3元.該同學(xué)的創(chuàng)意作品需要材料的數(shù)量是材料數(shù)量的2倍,同時,為了減少成本,該同學(xué)購買原材料的總費(fèi)用不超過480元.
(1)該同學(xué)最多購買多少件材料;
(2)在該同學(xué)購買材料最多的前提下,用所購買的,兩種材料全部制作作品,在制作中其他費(fèi)用共花了520元,活動當(dāng)天,該同學(xué)在成本價(購買材料費(fèi)用+其他費(fèi)用)的基礎(chǔ)上整體提高標(biāo)價,但無人問津,于是該同學(xué)在標(biāo)價的基礎(chǔ)上降低出售,最終,在活動結(jié)束時作品賣完,這樣,該同學(xué)在本次活動中賺了,求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,﹣3)、B(3,﹣2)、C(2,﹣4),在正方形網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長是1個單位長度.
(1)畫出△ABC向上平移4個單位得到的△A1B1C1;
(2)以點C為位似中心,在網(wǎng)格中畫出△A2B2C,使△A2B2C與△ABC位似,且△A2B2C與△ABC的位似比為2:1,并直接寫出點B2的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將邊長為8的正方形紙片ABCD折疊,使點D落在BC邊的點E處,點A落在點F處,折痕為MN,若MN=4,則線段CN的長是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖:直線AB:y=﹣3x+3與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點.
(1)過點O作OC⊥AB于點C,求OC的長;
(2)將△AOB沿AB翻折到△ABD,點O與點D對應(yīng),求直線BD的解析式;
(3)在(2)的條件下,正比例函數(shù)y=kx與直線BD交于P,直線AB交于Q,若OP=3OQ,求正比例函數(shù)的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,矩形 OABC 的邊 OA 與 x 軸重合,B 的坐標(biāo)為(﹣1,2),將矩形 OABC 繞平面內(nèi)一點 P 順時針旋轉(zhuǎn) 90°,使 A、C 兩點恰好落在反比例函數(shù) y= 的圖象上,則旋轉(zhuǎn)中心 P 點的坐標(biāo)是( )
A. (,﹣ ) B. ( ,﹣ ) C. ( ,﹣ ) D. ( ,﹣ )
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【題目】閱讀下列材料:
某同學(xué)在計算3(4+1)(42+1)時,發(fā)現(xiàn)把3寫成4-1后,可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式計算,
3(4+1)(42+1)
=(4-1)(4+1)(42+1)
=(42-1)(42+1)
=44-1
=256-1
=255.
請借鑒該同學(xué)的經(jīng)驗,計算下列各式的值:
(1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22019+1)
(2).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖1,正方形ABCD的邊長為5,點E、F分別在邊AB、AD的延長線上,且BE=DF,連接EF.
(1)證明:EF⊥AC;
(2)將△AEF繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α滿足0°<α<45°時,設(shè)EF與射線AB交于點G,與AC交于點H,如圖所示,試判斷線段FH、HG、GE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(3)若將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)一周,連接DF、BE,并延長EB交直線DF于點P,連接PC,試說明點P的運(yùn)動路徑并求線段PC的取值范圍.
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