Question

【題目】我們把方程(x- m)2+(y-n)2=r2稱為圓心為(m，n)、半徑長(zhǎng)為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．例如，圓心為(1,-2)、半徑長(zhǎng)為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x- 1)2+(y+2)2=9．在平面直角坐標(biāo)系中,圓C與軸交于點(diǎn)A．B．且點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8．0),與y軸相切于點(diǎn)D(0, 4)，過(guò)點(diǎn)A,B,D的拋物線的頂點(diǎn)為E．

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)試判斷直線AE與圓C的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）相切，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）連接CD，CB，過(guò)C作CF⊥AB，分別表示出BF和CF，再在△BCF中利用勾股定理構(gòu)造方程求解即可得到圓C半徑以及點(diǎn)C坐標(biāo)，從而得到標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由（1）可得點(diǎn)A坐標(biāo)，求出拋物線表達(dá)式，得到點(diǎn)E坐標(biāo)，再求出直線AE的表達(dá)式，聯(lián)立直線AE和圓C的表達(dá)式，通過(guò)判斷方程根的個(gè)數(shù)即可得到兩者交點(diǎn)個(gè)數(shù)，從而判斷位置關(guān)系.

解：連接CD，CB，過(guò)C作CF⊥AB，

∵點(diǎn)D（0，4），B（8，0），設(shè)圓C半徑為r，圓C與y軸切于點(diǎn)D，

則CD=BC=OF=r，CF=4，

∵CF⊥AB，

∴AF=BF=8-r，

在△BCF中，，

即，

解得：r=5，

∴CD=OF=5，即C（5，4），

∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；

（2）由（1）可得：BF=3=AF，則OA=OB-AB=2，

即A（2，0），

設(shè)拋物線表達(dá)式為：，將A，B，D坐標(biāo)代入，

，解得：，

∴拋物線表達(dá)式為：，

∴可得點(diǎn)E（5，），

設(shè)直線AE表達(dá)式為：y=mx+n，將A和E代入，

可得：，解得：，

∴直線AE的表達(dá)式為：，

∵圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

聯(lián)立，

解得：x=2，

故圓C與直線AE只有一個(gè)交點(diǎn)，橫坐標(biāo)為2，

即圓C與直線AE相切.