【題目】問題情境:如圖1,直角三角板ABC中,∠C=90°,AC=BC,將一個(gè)用足夠長的的細(xì)鐵絲制作的直角的頂點(diǎn)D放在直角三角板ABC的斜邊AB上,再將該直角繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),并使其兩邊分別與三角板的AC邊、BC邊交于P、Q兩點(diǎn).
問題探究:(1)在旋轉(zhuǎn)過程中,
①如圖2,當(dāng)AD=BD時(shí),線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
②如圖3,當(dāng)AD=2BD時(shí),線段DP、DQ有何數(shù)量關(guān)系?并說明理由.
③根據(jù)你對①、②的探究結(jié)果,試寫出當(dāng)AD=nBD時(shí),DP、DQ滿足的數(shù)量關(guān)系為_______________(直接寫出結(jié)論,不必證明)
(2)當(dāng)AD=BD時(shí),若AB=20,連接PQ,設(shè)△DPQ的面積為S,在旋轉(zhuǎn)過程中,S是否存在最小值或最大值?若存在,求出最小值或最大值;若不存在,請說明理由.
圖1 圖2 圖3
【答案】(1)① DP=DQ,理由見解析; ②DP=2DQ,理由見解析; ③DP=nDQ;(2)S有最小值為25; S有最大值為10,理由見解析.
【解析】
(1)①首先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出△ADP≌△CDQ(ASA),即可得出答案;
②首先得出△DPM∽△DQN,則,求出△AMD∽△BND,進(jìn)而得出答案.
③根據(jù)已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ,則,則AD=nBD,求出即可;
(2)當(dāng)DP⊥AC時(shí),x最小,最小值是5.此時(shí),S有最小值;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),x最大,最大值為10,分別求出即可.
解:(1)①DP=DQ
理由:連接CD,
∵AD=BD,△ABC是等腰直角三角形,
∴AD=CD,∠A=∠DCQ,∠ADC=90°,∴∠ADP+∠PDC=∠CDQ+∠PDC=90°,
∴∠ADP=∠CDQ,∴△ADP≌△CDQ,∴DP=DQ.
② DP=" 2DQ" .
理由:如圖,過點(diǎn)D作DM⊥AC、DN⊥BC,垂足分別為M、N,
∴∠DMP=∠DNQ=90°,∠MDP=∠NDQ,
∴△DPM∽△DQN,∴DM:DN="DP:DQ" .
∵∠AMD=∠DNB=90°,∠A=∠B,
∴△AMD∽△BND,∴AD:BD=DM:DN.
∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1,
∴DP=2DQ.
③DP=NQ.
(2)存在,設(shè)DQ=x,由(1)①知DP=x,
∴S=
,
當(dāng)DP⊥AC時(shí),x最小,最小值是,此時(shí),S有最小值,
當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),x最大,最大值是10,此時(shí),S有最大值,
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0中,b=;
(1)若a=4,求b的值;
(2)若方程ax2+bx+1=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求方程的根.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD相交于點(diǎn)O.
(1)畫出△AOB平移后的三角形,其平移后的方向?yàn)樯渚AD的方向,平移的距離為AD的長.
(2)觀察平移后的圖形,除了矩形ABCD外,還有一種特殊的平行四邊形?請證明你的結(jié)論.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+1=0中,b=;
(1)若a=4,求b的值;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,直徑垂直于不過圓心的弦,垂足為點(diǎn),連接,,點(diǎn)在上,且.過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn),點(diǎn)為上一動點(diǎn),設(shè)線段的長為.
(1)求證:;
(2)求證:;
(3)設(shè)半徑為,若點(diǎn)為中點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明大學(xué)畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè),第一期培植盆景與花卉各50盆售后統(tǒng)計(jì),盆景的平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元,調(diào)研發(fā)現(xiàn):
①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變.
小明計(jì)劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設(shè)培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1,W2(單位:元)
(1)用含x的代數(shù)式分別表示W1,W2;
(2)當(dāng)x取何值時(shí),第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,邊長為2的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45度后得到正方形AB′C′D′,邊B′C′與DC交于點(diǎn)O,則四邊形AB′OD的周長是( 。
A.B.6C.D.2+
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖平面直角坐標(biāo)系中,矩形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,、分別落在軸和軸上,是矩形的對角線. 將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)落在軸上,得到,與相交于點(diǎn),反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn),交于點(diǎn).
(1)求的值和點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)連接,則圖中是否存在與相似的三角形?若存在,請把它們一一找出來,并選其中一種進(jìn)行證明;若不存在,請說明理由;
(3)在線段上存在這樣的點(diǎn),使得是等腰三角形,請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】墊球是排球隊(duì)常規(guī)訓(xùn)練的重要項(xiàng)目之一.下列圖表中的數(shù)據(jù)是甲、乙、丙三人每人十次墊球測試的成績.測試規(guī)則為連續(xù)接球10個(gè),每墊球到位1個(gè)記1分.
運(yùn)動員甲測試成績表
測試序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
成績(分) | 7 | 6 | 8 | 7 | 7 | 5 | 8 | 7 | 8 | 7 |
(1)寫出運(yùn)動員甲測試成績的眾數(shù)和中位數(shù);
(2)在他們?nèi)酥羞x擇一位墊球成績優(yōu)秀且較為穩(wěn)定的接球能手作為自由人,你認(rèn)為選誰更合適?為什么?(參考數(shù)據(jù):三人成績的方差分別為、、)
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