【題目】如圖,點直徑上的一點,過作直線,分別交兩點,連接,并將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到,連接,分別交,連接

(Ⅰ)求證:

(Ⅱ)若點在直徑上運動(不與點,重合),其它條件不變,請問是否為定值?若是,請求出其值;若不是,請說明理由.

【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)是定值,理由見解析;

【解析】

(Ⅰ)連接AD,由同弧所對的圓周角相等可知∠ACF=∠ADF,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知ACAE,利用垂徑定理證得ADAC,推出AEAD,∠AED=∠ADF,即可推出結(jié)論;

(Ⅱ)過點EENCD,過點DDNCD,且EN與直線AB交于點M,與直線DN交于點N,先證四邊形MNDP是矩形,EAM≌△ACP,推出MNPD,MPNDEMAP,AMCP,再證明END為等腰直角三角形,推出EMG為等腰直角三角形,即可通過銳角三角函數(shù)推出結(jié)論.

解:(Ⅰ)連接,由同弧所對的圓周角相等可知∠ACF=∠ADF

AE是由線段AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到,

ACAE

CDAB,

AB垂直平分CD,

ACAD

AEAD,

∴∠AED=∠ADF,

∴∠ACF=∠AED;

(Ⅱ)是定值,

理由:過點EENCD,過點DDNCD,且EN與直線AB交于點M,與直線DN交于點N,

∵∠EAC=∠CPA90°

∴∠EAM+∠CAB=∠CAB+∠ACP90°,

∴∠EAM=∠ACP,

DNCD,CDAB,

DNAB,

又∵ENCD,

∴四邊形MNDP是矩形,

∴∠AME=∠APC90°,

ACAE,∠EAM=∠ACP,∠AME=∠APC,

∴△EAM≌△ACP

EMAP,AMCP,

∵四邊形MNDP是矩形,

MNPD,MPND,

AB是直徑,CDAB

MNPDCPAM,

又∵EMAP,

EMMNAPAM,即ENMPND,

∴△END是等腰直角三角形,

∴∠EDN45°,

DNAB,

∴∠EGM=∠EDN45°,

∴△EMG是等腰直角三角形,

.

練習冊系列答案
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