Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，開口向下的拋物線y=ax²+bx+c交y軸于A點(diǎn)，交x軸
于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．已知A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-5），BC=4，拋物線過點(diǎn)（2，3）．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）記拋物線的頂點(diǎn)為M，求△ACM的面積；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)可求得c的值，將（2，3）代入拋物線的解析式得到關(guān)于a、b的二元一次方程，設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），由題意可得到（x₁-x₂）²=16．結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得到關(guān)于a、b的另一個(gè)方程，將兩個(gè)方程聯(lián)立可求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）記AM與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D．先求得點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而可求得AM的解析式，然后再求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，最后依據(jù)S_△ACM=S_△CDA+S_△CDM求解即可；
（3）先求得AC的解析式，①當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，可求得PC的解析式，然后求得PC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可；②當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，可求得PC的解析式然后求得PC與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，-5）可知c=-5，
又∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，3），
∴4a+2b-5=0①，
設(shè)B（x₁，0），C（x₂，0），則（x₁-x₂）²=16．即（x₁+x₂）²-2x₁x₂=16．
∵x₁+x₂=-$\frac{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{20}{a}$=16②．
將方程①與方程②聯(lián)立，解得：a=-1，b=6．
∴拋物線的解析式為y=-x²+6x-5．
（2）如圖1所示：記AM與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為D．

∵y=-x²+6x-5=-（x-3）²+4，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，4）．
設(shè)直線AM的解析式為y=kx+b．
∵將A（0，-5）、M（3，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{3k+b=4}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=-5，
∴直線AM的解析式為y=3x-5．
∵令y=0得：3x-5=0．解得：x=$\frac{5}{3}$，
∴D（$\frac{5}{3}$，0）．
∵令拋物線的y=0得：-x²+6x-5=0，解得x₁=1，x₂=5，
∴C（5，0）．
∴S_△ACM=S_△CDA+S_△CDM=$\frac{1}{2}$×（5-$\frac{5}{3}$）×（4+5）=15．
（3）①當(dāng)∠PCA=90°時(shí)，如圖2所示：過點(diǎn)C作CP⊥AC，交拋物線與點(diǎn)P．

設(shè)AC的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-5}\\{5k+b=0}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=-5，
∴直線AC的解析式為y=x-5．
設(shè)PC的解析式為y=k₁x+b1．
∵PC⊥AC，
∴k₁=-1．
∴直線PC的解析式為y=-x+b₁．
∵將C（5，0）代入得：-5+b=0，解得；b=5，
∴PC的解析式為y=-x+5．
∵將y=-x+5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x+5，整理得：x²-7x+10=0，解得；x₁=2，x₂=5（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）
②當(dāng)∠PAC=90°時(shí)，如圖3所示：

∵AP⊥AC，A（0，-5）
∴AP的解析式為y=-x-5．
將y=-x-5代入y=-x²+6x-5得：-x²+6x-5=-x-5，整理得：x²-7x=0，解得；x₁=7，x₂=0（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（7，-12）．
綜上所述點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3）或（7，12）．

點(diǎn)評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、相互垂直的兩條直線的特點(diǎn)，依據(jù)相互垂直的兩條直線的一次項(xiàng)系數(shù)乘積為-1，和PC經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)求得直線PC的解析式是解題的關(guān)鍵．