Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O為AC中點，過點O的直線分別與AB，CD交于點E，F，連結BF，交AC于點M，連結DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，則下列結論：①AE=CF；②BF垂直平分線段OC；③△EOB≌△CMB；④四邊形是BFDE菱形．其中正確結論的個數是（ ）

A.1個B.2個C.3個D.4個

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用ASA定理證明△AOE≌△COF，從而判斷①；利用線段垂直平分線的性質的逆定理可得結論②；在△EOB和△CMB中，對應直角邊不相等，則兩三角形不全等，從而判斷③；連接BD，先證得BO=DO， OE=OF，進而證得OB⊥EF，因為BD、EF互相垂直平分，即可證得四邊形EBFD是菱形，從而判斷④．

解：∵矩形ABCD中，O為AC中點

∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF

∴△AOE≌△COF

∴AE=CF，故①正確

∵矩形ABCD中，O為AC中點，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴OB=BC，

∵FO=FC，

∴FB垂直平分OC，故②正確；

∵△BOC為等邊三角形，FO=FC，

∴BO⊥EF，BF⊥OC，

∴∠CMB=∠EOB=90°，

∴BO≠BM，

∴△EOB與△CMB不全等；故③錯誤；

連接BD，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，AC、BD互相平分，

∵O為AC中點，

∴BD也過O點，且BO=DO

由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF

∴四邊形EBFD是平行四邊形

由②可知，OB=CB，OF=FC

又∵BF=BF

∴△OBF≌△OCF

∴BD⊥EF

∴平行四邊形EBFD是菱形，故④正確

所以其中正確結論的個數為3個；

故選：C．