如圖所示,AC平分∠DAB,AB>AD,CB=CD,CE⊥AB于E,
(1)求證:AB=AD+2EB;
(2)若AD=9,AB=21,BC=10,求AC的長(zhǎng).
分析:(1)延長(zhǎng)線段AD,過(guò)C作CF垂直于AF,又CE垂直于AB,且AC為角平分線,根據(jù)角平分線定理得到CF=CE,又CD=CB,利用HL即可得到直角三角形FDC與直角三角形ECB全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到FD=EB,再由CF=CE,AC為公共邊,利用HL得到直角三角形ACF與直角三角形ACB全等,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=AE,由AF=AD+DF,等量代換即可得證;
(2)由AD和AB的長(zhǎng),根據(jù)(1)證明的結(jié)論,求出EB的長(zhǎng),再由AE=AB-EB,求出AE的長(zhǎng),在Rt△CEB中,根據(jù)勾股定理得CE的 長(zhǎng),在直角三角形ACE中,求出AC的長(zhǎng).
解答:(1)證明:延長(zhǎng)線段AD,過(guò)C作CF⊥AD交AD得延長(zhǎng)線于F,
∵AC為∠DAE的平分線,CE⊥AB,CF⊥AF,
∴CE=CF,
在Rt△CFD和Rt△CEB中
CF=CE
CD=CB
,
∴Rt△CFD≌Rt△CEB(HL),
∴FD=EB,
又在Rt△CFA和Rt△CEA中
CF=CE
AC=AC
,
∴Rt△CFA≌Rt△CEA(HL),
∴AF=AE,
則AB=AE+EB=AF+EB=AD+DF+EB=AD+2EB;

(2)解:∵AD=9,AB=21,
由(1)得AB=AD+2EB,代入得9+2EB=21,
解得EB=6,
∴AE=AB-EB=21-6=15,
又∵BC=10,
在Rt△CEB中,根據(jù)勾股定理得:
CE=
BC2-BE2
=8,
在Rt△ACE中,根據(jù)勾股定理得:
AC=
AE2+CE2
=17.
點(diǎn)評(píng):此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線定理以及勾股定理,對(duì)條件的充分認(rèn)識(shí)和對(duì)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑,構(gòu)造過(guò)程中要不斷的轉(zhuǎn)化問(wèn)題或轉(zhuǎn)換思維的角度,會(huì)轉(zhuǎn)化,善于轉(zhuǎn)化,更能體現(xiàn)思維的靈活性.遇到角平分線常常過(guò)角平分線上的點(diǎn)作角兩邊的垂線,進(jìn)而利用角平分線定理解決問(wèn)題,作出輔助線是本題的突破點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

9、如圖所示,①AC平分∠BAD,②AB=AD,③AB⊥BC,AD⊥DC.以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件,另一個(gè)為結(jié)論,可構(gòu)成三個(gè)命題,即①②?③,①③?②,②③?①.
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是( 。

A

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

10、如圖所示,AC平分∠BAD,CE⊥AB,且2AE=AB+AD,則∠ADC于∠B的關(guān)系為( 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖所示,AC平分∠BAD,AB∥CD,求證:∠CAD=∠DCA.(要求:寫(xiě)出證明過(guò)程中的主要依據(jù))

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年浙教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上1.3平行線的性質(zhì)練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題

如圖所示,AC平分∠BCD,且∠BCA=∠CAD=∠CAB,∠ABC=75°,則∠BCA等于( )

A.36°    B.35°    C.37.5°    D.70°

 

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案