Question

19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線OA的函數(shù)表達式為y=2x，直線AB的函數(shù)表達式為y=-3x+b，點B的坐標(biāo)為$（\frac{10}{3}，0）$．點P沿折線OA-AB運動，且不與點O和點B重合．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，△OPB的面積為S．
（1）請直接寫出b的值．
（2）求點A的坐標(biāo)．
（3）求S與m之間函數(shù)關(guān)系，并直接寫出對應(yīng)的自變量m的取值范圍．
（4）過點P作OB邊的高線把△OPB分成兩個三角形，當(dāng)其中一個是等腰直角三角形時，直接寫出所有符合條件的m的值．

Answer 1

分析 （1）由點B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出b值；
（2）聯(lián)立OA、AB的解析式成方程組，解方程組即可求出點A的坐標(biāo)；
（3）分點P在OA和AB上兩種情況考慮，找出點P的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；
（4）過點P作PD⊥x軸于點D，由OA、AB解析式得特征即可得出只有兩種情況：當(dāng)點P在OA上時，△PBD為等腰直角三角形；當(dāng)點P在AB上時，△POD為等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）將點B（$\frac{10}{3}$，0）代入y=-3x+b中，
得：0=-3×$\frac{10}{3}$+b，
解得：b=10．
（2）∵直線OA與直線AB交于點A，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=2x\\ y=-3x+10\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=4\end{array}\right.$，
∴點A的坐標(biāo)為（2，4）．
（3）當(dāng)點P在OA上時，此時0＜m≤2，
S=$\frac{1}{2}$•OB•y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×2m=$\frac{10}{3}$m．
當(dāng)點P在AB上時，此時2＜m＜$\frac{10}{3}$，
S=$\frac{1}{2}$•OB•y_P=$\frac{1}{2}$×$\frac{10}{3}$×（-3m+10）=-5m+$\frac{50}{3}$．
∴S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{10}{3}m（0＜m≤2）}\\{-5m+\frac{50}{3}（2＜m＜\frac{10}{3}）}\end{array}\right.$．
（4）過點P作PD⊥x軸于點D，如圖所示．
當(dāng)點P在OA上時，PD=2m（0＜m≤2），BD=$\frac{10}{3}$-m，
∵△PDB為等腰直角三角形，
∴PD=PB，即2m=$\frac{10}{3}$-m，
解得：m=$\frac{10}{9}$；
當(dāng)點P在AB上時，PD=-3m+10，OD=m，
∵△POD為等腰直角三角形，
∴PD=OD，即-3m+10=m，
解得：m=$\frac{5}{2}$．
綜上可知：過點P作OB邊的高線把△OPB分成兩個三角形，當(dāng)其中一個是等腰直角三角形時，符合條件的m的值為$\frac{10}{9}$和$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、解二元一次方程組、三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出b；（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式成方程組；（3）分兩種情況討論；（4）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)找出關(guān)于m的方程．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點在折線位置的不同，分情況考慮是關(guān)鍵．