Question

【題目】如圖，線段AB＝4，M為AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離是1，連接PB，線段PB繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長(zhǎng)度的最大值是_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

以點(diǎn)M為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F，然后A、B的坐標(biāo)可以表示出來(lái)，再根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，從而可求出AC的最大值.

解：如圖所示：以點(diǎn)M為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥y軸，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥DC，垂足為E，延長(zhǎng)EP交x軸于點(diǎn)F．

∵AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，

∴A（﹣2，0），B（2，0）．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則x2+y2＝1．

∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，

∴∠ECP＝∠FPB，

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：PC＝PB，

在△ECP和△FPB中，

，

∴△ECP≌△FPB,

∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．

∴C（x+y，y+2﹣x）．

∵AB＝4，O為AB的中點(diǎn)，

∴AC＝ ＝ ，

∵x2+y2＝1，

∴AC＝ ，

∵﹣1≤y≤1，

∴當(dāng)y＝1時(shí)，AC有最大值，AC的最大值為．

故答案為．