Question

7．如圖，點A是雙曲線y=$\frac{8}{x}$在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為（　�。�

• A． y=$\frac{8}{x}$
• B． y=$\frac{16}{x}$
• C． y=-$\frac{16}{x}$
• D． y=-$\frac{8}{x}$

Answer 1

分析 先連結(jié)OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)“AAS”可判定△COD≌△OAE，設A點坐標為（a，$\frac{8}{a}$），得出OD=AE=$\frac{8}{a}$，CD=OE=a，最后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點C的坐標特征確定函數(shù)解析式．

解答 解：如圖，連結(jié)OC，作CD⊥x軸于D，AE⊥x軸于E，
∵A點、B點是正比例函數(shù)圖象與雙曲線y=$\frac{8}{x}$的交點，
∴點A與點B關于原點對稱，
∴OA=OB，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴OC=OA，OC⊥OA，
∴∠DOC+∠AOE=90°，
∵∠DOC+∠DCO=90°，
∴∠DCO=∠AOE，
∵在△COD和△OAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDO=∠OEA}\\{∠DCO=∠EOA}\\{CO=OA}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△OAE（AAS），
設A點坐標為（a，$\frac{8}{a}$），則OD=AE=$\frac{8}{a}$，CD=OE=a，
∴C點坐標為（-$\frac{8}{a}$，a），
∵-$\frac{8}{a}$•a=-8，
∴點C在反比例函數(shù)y=-$\frac{8}{x}$圖象上．
故選（D）

點評 本題主要考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，解題時需要綜合運用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、等腰直角三角形的性質(zhì)．判定三角形全等是解決問題的關鍵環(huán)節(jié)．