【題目】(1)發(fā)現(xiàn):如圖1,點為線段外一動點,且,,當點位于 時,線段的長取得最大值,最大值為 (用含的式子表示);
(2)應(yīng)用:如圖2,點為線段外一動點,,,以為邊作等邊,連接,求線段的最大值;
(3)拓展:如圖3,線段,點為線段外一動點,且,,,求線段長的最大值及此時的面積.
【答案】(1)CB的延長線上,a+b;(2)6;(3)最大值為3+,△PBM的面積為
【解析】
(1)根據(jù)點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△CAD≌△EAB,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE,利用(1)中的結(jié)論即可得到結(jié)果;
(3)將△APM繞著點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP'N,連接BN,得到△APP'是等腰直角三角形,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到P'A=PA=2,AN=AM,根據(jù)當N在線段BA的延長線時,線段BN取得最大值,即可得到最大值為+3,過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q,
利用勾股定理求出PB的長,根據(jù)△PBM為等腰直角三角形,可求出面積.
解:(1)∵點A為線段BC外一動點,且BC=a,AB=b,
∴當點A位于CB的延長線上時,線段AC的長取得最大值,且最大值為BC+AB=a+b,
故答案為:CB的延長線上,a+b;
(2)如圖2中,以AC為邊向上作等邊△ACE,連接BE.
∵△ABD與△ACE是等邊三角形,
∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,
即∠CAD=∠EAB,
在△CAD與△EAB中,
,
∴△CAD≌△EAB(SAS),
∴CD=BE;
∴線段BE長的最大值=線段CD的最大值,
∴由(1)知,當線段BE的長取得最大值時,點E在BA的延長線上,
∴最大值為=4+2=6.
∴線段CD的最大值為6;
(3)解:如圖3中,將△APM繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP'N,連接BN,PP′.
∴△APM≌△AP'N,
∴AN=AM,AP=AP'=2,
∴線段AM長的最大值=線段AN長的最大值,
∴當N在線段AB的延長線時,線段AN取得最大值,最大值=AB+BN,
∴∠PAP'=90°,
∴△APP'是等腰三角形,
∴PP'=,
∵△BPM是等腰直角三角形,
∴∠BPM=∠MAN=90°,PM=PB=P'N,
∴∠AMP=∠ABP=∠N,
∴PB∥P'N,
∴四邊形PBNP'是平行四邊形,
∴BN=PP',
∴AN的最大值為:AB+BN=AB+PP'=3+,
∴AM的最大值為3+,
過點P作PQ⊥AB的延長線于點Q,
∵∠PAP′=90°,∠P′AB=∠PP′A=45°,
∴∠PAQ=45°,
∴△PAQ為等腰直角三角形,
∵AP=2,由勾股定理可得:
∴AQ=PQ=,
在△PBQ中,PQ2+BQ2=PB2,
即,
∴PB2=,
∵△PBM為等腰直角三角形,
此時△PBM的面積=×=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,點O是AC上的一個動點,過點O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于E,交∠BCA的外角平分線于F.
(1)請猜測OE與OF的大小關(guān)系,并說明你的理由;
(2)點O運動到何處時,四邊形AECF是矩形?寫出推理過程;
(3)點O運動到何處且△ABC滿足什么條件時,四邊形AECF是正方形?(寫出結(jié)論即可)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC中,AB=CB=5,AC=8,P為AC邊上一動點,PQ⊥AC,PQ與△ABC的腰交于點Q,連結(jié)CQ,設(shè)AP為x,△CPQ的面積為y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
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【題目】若反比例函數(shù)y=(k≠0)的圖象過點(2,1),則這個函數(shù)的圖象還經(jīng)過的點是( )
A. (﹣2,1) B. (﹣l,2) C. (﹣2,﹣1) D. (1,﹣2)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,,,點是線段上任意一點,分別過點、作直線的垂線,垂足為、,,,則的最大值是______________,最小值是______________.
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【題目】已知反比例函數(shù)y=(m為常數(shù))的圖象在一,三象限.
(1)求m的取值范圍;
(2)如圖,若該反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過ABOD的頂點D,點A、B的坐標分別為(0,4),(﹣3,0).
①求出函數(shù)解析式;
②設(shè)點P是該反比例函數(shù)圖象上的一點,若OD=OP,則P點的坐標為多少?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,直線y=﹣x+b分別與x軸,y軸交于A(6,0),B兩點,過點B的另一直線交x軸的負半軸于點C,且OB:OC=3:1
(1)求直線BC的解析式;
(2)直線y=ax﹣a(a≠0)交AB于點E,交BC于點F,交x軸于點D,是否存在這樣的直線EF,使S△BDE=S△BDF?若存在,求出a的值;若不存在,請說明理由;
(3)如圖2,點P為A點右側(cè)x軸上一動點,以P為直角頂點,BP為腰在第一象限內(nèi)作等腰直角三角形△BPQ,連接QA并延長交y軸于點K.當P點運動時,K點的位置是否發(fā)生變化?若不變,求出它的坐標;如果會發(fā)生變化,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩名射擊選手中選出一名選手參加省級比賽,現(xiàn)對他們分別進行5次射擊測試,成績分別為(單位:環(huán))
甲:5、6、7、9、8
乙:8、4、8、6、9
(1)分別計算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差;
(2)根據(jù)測試成績,你認為選派哪一名選手參賽更好些?為什么?
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