Question

20．我們定義：有一組鄰邊相等的凸四邊形叫做“等鄰邊四邊形”．
（1）如圖1，在四邊形ABCD中，添加一個(gè)條件使得四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”．請(qǐng)寫出你添加的一個(gè)條件．
（2）如圖2，等鄰邊四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD為對(duì)角線，AC=$\sqrt{2}$AB，試探究BC，BD的數(shù)量關(guān)系．
（3）如圖3，等鄰邊四邊形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等鄰邊四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用“等鄰邊四邊形”的定義添加條件即可．；
（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABF≌△ADC，由全等三角形的性質(zhì)易得∠BAD=∠CAF，可得△ACF∽△ADB，由相似三角形的性質(zhì)可得$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，可得CF=$\sqrt{2}BD$，由四邊形的內(nèi)角和定理可得∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，易得∠CBF=90°，由勾股定理可得BC²+CD²=2BD²；
（3）將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABP，AD旋轉(zhuǎn)至AB處，易得△APC為等邊三角形，可得AP=CP=AC=2，易得S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+S_△ABP=S_△APC-S_△BPC，易得∠BCD=30°，可得∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC，所以點(diǎn)B在以PC為直徑的圓弧MN上（不含點(diǎn)M，N）．連接圓心O與點(diǎn)B，當(dāng)OB⊥PC時(shí)，點(diǎn)B到PC的距離最大，分析知當(dāng)S_△CPB的最大值，四邊形ABCD面積的最小，即可得出結(jié)論．

解答 （1）∵四邊形ABCD是“等鄰邊四邊形”，
∴AB=BC，BC=CD，CD=AD或AD=AB（任寫一個(gè)即可）；

（2）BC，CD，BD的數(shù)量關(guān)系為：BC²+CD²=2BD²．
如圖1，∵AB=AD，
∴將△ADC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ABF，使得AD旋轉(zhuǎn)至AB處，連接CF，可得△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，F(xiàn)B=CD，
∴∠BAD=∠CAF，$\frac{AC}{AF}=\frac{AD}{AB}=1$，
∴△ACF∽△ADB，
∴$\frac{CF}{BD}=\frac{AC}{AD}$=$\sqrt{2}$，
∴CF=$\sqrt{2}BD$，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°-（∠BAD+∠BCD）=360°-90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC²+FB²=CF²=${（\sqrt{2}BD）}^{2}$=2BD²，
即BC²+CD²=2BD²；

（3）如圖2，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到△ABP，AD旋轉(zhuǎn)至AB處，
∵AC=AP，∠CAP=60°，
∴△APC為等邊三角形
∴AP=CP=AC=2，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD=S_△ABC+S_△ABP=S_△APC-S_△BPC，
∵∠BAD=2∠BCD=60°，
∴∠BCD=30°，
∴∠PBC=360°-∠ABP-∠ABC
=360°-∠ADC-∠ABC
=∠BAD+∠BC
=60°+30°
=90°．
∴點(diǎn)B在以PC為直徑的圓弧MN上（不含點(diǎn)M，N）．
連接圓心O與點(diǎn)B，當(dāng)OB⊥PC時(shí)，點(diǎn)B到PC的距離最大，
∴S_△CPB的最大值為$\frac{1}{2}×2×1$=1，
∵S_△APC=$\frac{1}{2}×2×2×sin60°$=$\sqrt{3}$，
∴S_{四邊形ABCD}的最小值為S_△APC-S_{△CBP的最大值}=$\sqrt{3}-1$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考段變形面積的求法查了全等三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，以及多邊形面積的求法，作出輔助線，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．