Question

【題目】如圖，已知AC、EC分別為四邊形ABCD和EFCG的對(duì)角線，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，∠CAE+∠CBE=90°，當(dāng)四邊形ABCD和EFCG均為正方形時(shí)，連接BF．
（1）求證：△CAE∽△CBF；
（2）若BE=1，AE=2，求CE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四邊形ABCD和EFCG均為正方形，

∴ = ，

又∵∠ACE+∠BCE=∠BCF+∠BCE=45°，

∴∠ACE=∠BCF，

∴△CAE∽△CBF

（2）解：∵△CAE∽△CBF，

∴∠CAE=∠CBF， ，

又∵∠CAE+∠CBE=90°，

∴∠CBF+∠CBE=90°，

∴∠EBF=90°，

又∵ = ，AE=2

∴ = ，

∴BF= ，

∴EF2=BE2+BF2=3，

∴EF= ，

∵CE2=2EF2=6，

∴CE= ．

【解析】（1）首先根據(jù)四邊形ABCD和EFCG均為正方形，可得 = ，∠ACE=∠BCF；然后根據(jù)相似三角形判定的方法，推得△CAE∽△CBF即可；（2）首先根據(jù)△CAE∽△CBF，判斷出∠CAE=∠△CBF，再根據(jù)∠CAE+∠CBE=90°，判斷出∠EBF=90°；然后在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理，求出EF的長(zhǎng)度，再根據(jù)CE、EF的關(guān)系，求出CE的長(zhǎng)是多少即可．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正方形的性質(zhì)(正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形)，還要掌握相似三角形的判定與性質(zhì)(相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．