Question

【題目】定義：若一個(gè)四邊形能被其中一條對(duì)角線(xiàn)分割成兩個(gè)相似三角形，則稱(chēng)這個(gè)四邊形為“友好四邊形”．

（1）如圖1，在的正方形網(wǎng)格中，有一個(gè)網(wǎng)格和兩個(gè)網(wǎng)格四邊形與，其中是被分割成的“友好四邊形”的是 ；

（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)落在邊，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，求證：四邊形是“友好四邊形”；

（3）如圖3，在中，，，的面積為，點(diǎn)是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，．若四邊形是被分割成的“友好四邊形”，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）四邊形；（2）詳見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）根據(jù)三角形相似的判定定理，得ABC~EAC，進(jìn)而即可得到答案；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，結(jié)合，得，進(jìn)而即可得到結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)作于，得，根據(jù)三角形的面積得，結(jié)合∽，即可得到答案．

（1）由題意得：,

∴，

∴ABC~EAC，

∴被分割成的“友好四邊形”的是：四邊形，

故答案是：四邊形；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，

∵，

∴，

∴，

∴∽，

∴四邊形是“友好四邊形”；

（3）過(guò)點(diǎn)作于，

∴在中，，

∵的面積為，

∴，

∴，

∵四邊形是被分割成的“友好四邊形”，且，

∴∽，

∴，

∴，

∴．