Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，3），作直線BC．動點P在x軸上運動，過點P作PM⊥x軸，交拋物線于點M，交直線BC于點N，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m．
（Ⅰ）求拋物線的解析式和直線BC的解析式；
（Ⅱ）當(dāng)點P在線段OB上運動時，求線段MN的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，直接寫出m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵拋物線過A、C兩點，

∴代入拋物線解析式可得： ，解得： ，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，

令y=0可得，﹣x2+2x+3=0，解x1=﹣1，x2=3，

∵B點在A點右側(cè)，

∴B點坐標(biāo)為（3，0），

設(shè)直線BC解析式為y=kx+s，

把B、C坐標(biāo)代入可得 ，解得 ，

∴直線BC解析式為y=﹣x+3；

（Ⅱ）∵PM⊥x軸，點P的橫坐標(biāo)為m，

∴M（m，﹣m2+2m+3），N（m，﹣m+3），

∵P在線段OB上運動，

∴M點在N點上方，

∴MN=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時，MN有最大值，MN的最大值為 ；

（Ⅲ）∵PM⊥x軸，

∴MN∥OC，

當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，則有OC=MN，

當(dāng)點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，

∴﹣m2+3m=3，此方程無實數(shù)根，

當(dāng)點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，

∴m2﹣3m=3，解得m= 或m= ，

綜上可知當(dāng)以C、O、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時，m的值為 或 ．

【解析】（1）把A、C兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中列方程組可求得b,c的值，令y=0，解方程可得B點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求直線BC的解析式；（2）根據(jù)解析式表示出M、N兩點的坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)的差就是MN的長，配方后求得最值即可；（3）分兩種情況：當(dāng)點P在線段OB上時，則有MN=﹣m2+3m，當(dāng)點P不在線段OB上時，則有MN=﹣m+3﹣（﹣m2+2m+3）=m2﹣3m，根據(jù)MN=3列方程解出即可。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和二次函數(shù)的最值的相關(guān)知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值），即當(dāng)x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．