Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠D．
（1）求證：四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）若點(diǎn)P為對角線AC上的一點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和平行四邊形的判定證明即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和菱形的判定證明即可．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠DCA=∠BAC，
在△ADC與△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{∠DCA=∠BAC}\\{AC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△ABC（AAS），
∴AB=DC，
∵AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形；
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴∠DAB=∠DCB，
∵PE⊥AB于E，PF⊥AD于F，且PE=PF，
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA=∠BCA，
∴AB=BC，
∴四邊形ABCD是菱形．

點(diǎn)評 本題考查了菱形的判定與性質(zhì)．菱形的判定方法有五多種，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法．