Question

【題目】如圖1，在∠A內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接BP、CP，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：

（1）求證：∠P＝∠1+∠A+∠2；

（2）如圖2，利用上面的結(jié)論，在五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝　 　；

（3）如圖3，如果在∠BAC間有兩個(gè)向上突起的角，請(qǐng)你根據(jù)前面的結(jié)論猜想∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠A之間有什么等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論即可．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）180°；（3）∠4+∠5＝∠1+∠2+∠3+∠A

【解析】

(1)連接AP并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)即可求出∠BPC=∠1+∠A+∠2；

(2)先把五角星五個(gè)“角”歸結(jié)到一個(gè)三角形中，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理解答即可；

(3)分別連接AP、AD、AG并延長(zhǎng)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)解答即可．

(1)連接AP并延長(zhǎng)，如圖：

則∠3=∠2+∠BAP，∠4=∠1+∠PAC，

∴∠BPC=∠1+∠PAC+∠2+∠BAP =∠1+∠A+∠2；

(2)如圖：

∵∠1是△DBF的外角，

∴∠1=∠B+∠D，

∵∠2是△ECG的外角，

∴∠2=∠C+∠E，

∵∠1、∠2、∠A是△AFG的內(nèi)角，

∴∠1+∠2+∠A=180°，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．

(3) ∠4+∠5=∠1+∠2++∠3+∠A．理由如下：
作射線AP、AG，連結(jié)AD，如圖，

由（1）得∠4=∠3+∠BAD+∠ADP，∠5=∠ADG+∠1+∠DAC，
∴∠4+∠5=∠1+∠BAD+∠ADP+∠ADG+∠3+∠DAC=∠1+∠2+∠3+∠A．

故答案為：∠4+∠5=∠1+∠2+∠3+∠A．