Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，過點C的直線MN∥AB，D為AB邊上
一點，過點D作DE⊥BC，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，BE．

（1）求證：CE=AD；
（2）當D在AB中點時．
①求證：四邊形BECD是菱形；
②當∠A為多少度時，四邊形BECD是正方形？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB=90°．

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DFB，

∴AC∥DE．

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE=AD

（2）①證明：∵D為AB中點，

∴AD=BD．

∵CE=AD，

∴BD=CE．

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形．

∵∠ACB=90°，D為AB中點，

∴CD=BD，

∴四邊形BECD是菱形；

②當∠A=45°時，四邊形BECD是正方形．

理由如下：∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴∠ABC=∠A=45°，

∴AC=BC．

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB=90°．

∵四邊形BECD是菱形，∠CDB=90°，

∴四邊形BECD是正方形．

【解析】（1）證出AC∥DE，得出四邊形ADEC是平行四邊形，即可得出結(jié)論；
（2）①先證出BD=CE，得出四邊形BECD是平行四邊形，再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出CD=BD，即可得出四邊形BECD是菱形；
②當∠A=45°時，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性質(zhì)得出CD⊥AB，即可得出四邊形BECD是正方形．

【考點精析】利用直角三角形斜邊上的中線和平行四邊形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積．