Question

如圖，△ABO中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B．
（1）①以原點(diǎn)O為位似中心，將△ABO放大，使變換后得到的△CDO與△ABO的位似比為2：1，且D在第一象限內(nèi)，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（______

Answer 1

【答案】分析：（1）①首先根據(jù)點(diǎn)D的位置確定△COD的位置，然后根據(jù)位似比作圖，即可得到點(diǎn)C、D的坐標(biāo)；
②可過E作y軸的垂線，設(shè)垂足為F，由于△ODE是由△ODC翻折而得，故OE=OC=2，∠EOD=∠COD=30°，根據(jù)這些條件，即可在Rt△OEF中，通過解直角三角形求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．
（2）在（1）題中，已經(jīng)求得了E、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可．
（3）四邊形MEOC中，△OEC的面積是定值，若四邊形的面積最大，則△EMC的面積最大；過M作MN∥y軸，交直線CE于N，設(shè)出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線和直線CE的解析式即可得到MN的長(zhǎng)，以MN為底，C、E橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為高，即可得到△EMC的面積表達(dá)式，進(jìn)而可得到關(guān)于四邊形MEOC的面積和M點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到四邊形的面積最大值，及對(duì)應(yīng)的M點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）①由題意知：OC=2OA=2，
CD=2AB=2；
故C（2，0），D（2，2）；
②如圖，過E作EF⊥y軸于F；
Rt△OCD中，OC=2，CD=2，則有：
∠DOC=30°；
根據(jù)折疊的性質(zhì)知：
OE=OC=2，∠EOD=∠DOC=30°；
在Rt△OEF中，OE=2，∠FOE=30°，
則：FE=，OF=3，
故E（，3）．

（2）由于拋物線經(jīng)過E（，3），C（2，0），依題意有：
，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=-x²+2x；

（3）過M作MN∥y軸，交CE于N；
∵E（，3），C（2，0），
∴直線EC：y=-x+6；
設(shè)M（x，-x²+2x），則N（x，-x+6），
∴MN=-x²+2x-（-x+6）=-x²+3x-6；
∴四邊形EMCO的面積S=S_△EMC+S_△EOC
=×（-x²+3x-6）×+×2×3
=-x²+x=-（x-）²+；
∴當(dāng)x=，即M（，）時(shí)，四邊形OEMC的面積最大，且最大值為．
點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到圖形的位似變化、二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)及圖形面積的求法、二次函數(shù)最值的應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．