Question

9．已知：如圖，一次函數(shù)$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$與反比例函數(shù)$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的圖象在第一象限的交點(diǎn)為A（1，n）．
（1）求m與n的值；
（2）設(shè)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)B，連結(jié)OA，求∠BAO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）把點(diǎn)A（1，n）坐標(biāo)代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$即可求得n，再把$A（1，\sqrt{3}）$坐標(biāo)代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+m$可求m；
（2）由直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0），即OB=2，由點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$，由三角函數(shù)可求得∠AOM=60°，由勾股定理求得得 OA=2，得到OA=OB，推出∠OBA=∠BAO，于是求得∠BAO=30°，由正弦函數(shù)的定義可得結(jié)論．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（1，n）在雙曲線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$上，
∴n=$\sqrt{3}$，
又∵A（1，$\sqrt{3}$）在直線y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+m上，
∴m=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AM⊥x軸于點(diǎn)M．
∵直線$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$與x軸交于點(diǎn)B，
∴$\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}=0$．
解得 x=-2．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-2，0）．
∴OB=2，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為$（1，\sqrt{3}）$，
∴AM=$\sqrt{3}$，OM=1，
在Rt△AOM中，∠AMO=90°，
∴tan$∠AOM=\frac{AM}{OM}=\sqrt{3}$，
∴∠AOM=60°，
由勾股定理，得 OA=2，
∴OA=OB，
∴∠OBA=∠BAO，
∴∠BAO=$\frac{1}{2}∠$AOM=30°，
∴sin∠BAO=$\frac{1}{2}$，
∴∠BA0=30°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，三角函數(shù)的定義，利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到∠BAO的度數(shù)是解決本題的突破點(diǎn)．