Question

20．如圖，P是矩形ABCD內(nèi)一點，AP⊥BP于點E，CE⊥BP于點E，BP=EC．
（1）請判斷四邊形ABCD是否是正方形？若是，寫出證明過程：若不是，說明理由；
（2）延長EC到點F，使CF=BE，連接PF交BC的延長線于點G，求∠BGP的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由四邊形ABCD為矩形可得∠ABC=90°，易得∠ABP+∠PBC=90°，由AP⊥BP，可得∠ABP+∠PAB=90°，易得∠PBC=∠PAB，由AAS定理可得△ABP≌△BCE，由全等三角形的性質(zhì)可得AB=BC，易得結(jié)論；
（2）連接AC，由△ABP≌△BCE易得AP=BE，又CF=BE，可得AP=CF，易得四邊形ACGP是平行四邊形，可得∠ACB=∠BGP，由四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，可得∠ACB=∠BGP=45°．

解答 解：（1）四邊形ABCD為正方形．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
即∠ABP+∠PBC=90°，
∵AP⊥BP，
∴∠ABP+∠PAB=90°，
∴∠PBC=∠PAB，
∵CE⊥BP，
∴∠APB=∠BEC=90°，
在△ABP與△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAP=∠CBE}\\{∠APB=∠BEC}\\{PB=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△BCE，
∴AB=BC，
∴矩形ABCD為正方形；

（2）連接AC，
∵△ABP≌△BCE，
∴AP=BE，
∵BE=CF，
∴AP=CF，
∵AP⊥BP，CE⊥BP，
∴AP∥CF，
∴四邊形ACGP是平行四邊形，
∴AC∥PF，
∴∠ACB=∠BGP，
∵四邊形ABCD是正方形，AC是對角線，
∴∠ACB=45°，
∴∠BGP=45°．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)及判定，綜合利用各定理是解答此題的關(guān)鍵．