Question

在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且BP=AB，∠ABP=30°，求證：PA=PC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：延長(zhǎng)BP交AC于E，延長(zhǎng)AP交BC于D，連接DE，根據(jù)△ACD∽△BCE可得△CDE為等腰直角三角形，即ED=DC，根據(jù)角的關(guān)系即可求得PD=ED，即可解題．

解答：解：延長(zhǎng)BP交AC于E，延長(zhǎng)AP交BC于D，連接DE，

∵∠BAC=90°，AB=AC，BP=AB，∠ABP=30°
∴∠BAP=∠BPA=75°，∠CAD=∠CBE=15°，
∴△ACD∽△BCE，
∴

CE

CD

=

BC

AC

=

2

，
∵∠ACB=45°，
∴△CDE為等腰直角三角形，∴ED=DC，且ED⊥BC，
∴∠PED=90°-∠DBE=90°-15°=75°，
∴∠PED=∠EPD=75°，
∴DP=DE，∴DP=DC，
∵∠BDP=180°-∠DBP-∠BPD=60°，
∴∠DPC=∠DCP=30°，
∴∠PCA=15°，
∴AP=PC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形腰長(zhǎng)相等的性質(zhì)，考查了等腰三角形的判定，本題中求證DP=CD是解題的關(guān)鍵．