Question

對(duì)于二次函數(shù)y=x²-2mx-3，有下列說法：
①它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
②如果當(dāng)x≤1時(shí)y隨x的增大而減小，則m=1；
③如果將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過原點(diǎn)，則m=-1；
④如果當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值與x=2008時(shí)的函數(shù)值相等，則當(dāng)x=2012時(shí)的函數(shù)值為-3．
其中正確的個(gè)數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的圖象,二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：①利用根的判別式△＞0判定即可；
②根據(jù)二次函數(shù)的增減性利用對(duì)稱軸列不等式求解即可；
③根據(jù)向左平移橫坐標(biāo)減求出平移前的點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入函數(shù)解析式計(jì)算即可求出m的值；
④根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性求出對(duì)稱軸，再求出m的值，然后把x=2012代入函數(shù)關(guān)系式計(jì)算即可得解．

解答：解：①∵△=（-2m）²-4×1×（-3）=4m²+12＞0，
∴它的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，故本小題正確；
②∵當(dāng)x≤1時(shí)y隨x的增大而減小，
∴對(duì)稱軸直線x=-

-2m

2×1

≥1，
解得m≥1，故本小題錯(cuò)誤；
③∵將它的圖象向左平移3個(gè)單位后過原點(diǎn)，
∴平移前的圖象經(jīng)過點(diǎn)（3，0），
代入函數(shù)關(guān)系式得，3²-2m•3-3=0，
解得m=1，故本小題錯(cuò)誤；
④∵當(dāng)x=4時(shí)的函數(shù)值與x=2008時(shí)的函數(shù)值相等，
∴對(duì)稱軸為直線x=

4+2008

2

=1006，
∴-

-2m

2×1

=1006，
解得m=1006，
∴函數(shù)關(guān)系式為y=x²-2012x-3，
當(dāng)x=2012時(shí)，y=2012²-2012×2012-3=-3，故本小題正確；
綜上所述，結(jié)論正確的是①④共2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)的對(duì)稱性以及增減性，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．