Question

如圖：直線y=-x+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)；直線y=2x分別與AB交于C點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于D點(diǎn)．點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸向左運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q，以PQ為邊向右作正方形PQMN，設(shè)正方形PQMN與△ACD重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒）．
（1）當(dāng)0＜t＜12時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）求（1）中S的最大值；
（3）當(dāng)t＞0時(shí)，若點(diǎn)（10，10）落在正方形PQMN的內(nèi)部，求t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-x+18分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴A（18，0），B（0，18），
∵直線y=2x與AB交于C點(diǎn)，
∴，
解得：x=6，y=12，
∴點(diǎn)C（6，12），
∵直線y=2x與過(guò)點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于D點(diǎn)，
∴D（18，36），
過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD，則CH=18-6=12，
∵PQ∥AD，
∴CH⊥PQ，△CPQ∽△CAD，
∴，
∵PK=t，則CG=12-t，
即：，
∴PQ=36-3t，
∴當(dāng)0＜t＜12時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為S=t（36-3t）=-3t²+36t；

（2）∵S=-3t²+36t=-3（t-6）²+108，
∴當(dāng)t=6時(shí)，S最大，最大值為108；

（3）當(dāng)點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是10時(shí)，
則Q（10，20），E（10，0），P（10，8），
∴PE=8，PQ=12，
∴PQ=36-3t=12，
解得：t=8；
當(dāng)N的坐標(biāo)為（10，10）時(shí)，
則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為10，
∴P（8，10），
∴E（8，0），
∴AE=10；
即t=10；
∴t的取值范圍為：8＜t＜10．
分析：（1）首先根據(jù)題意求得A，B，C，D的坐標(biāo)，然后過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AD，易得△CPQ∽△CAD，由相似三角形的性質(zhì)，即可求得PQ的值，則可求得S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）配方，即可求得二次函數(shù)的最大值，即是S的最大值；
（3）當(dāng)PQ過(guò)點(diǎn)（10，10）時(shí)，t最��；當(dāng)N與（10，10）重合時(shí)，t最大，根據(jù)題意求解即可．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．