【題目】在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α(0°<α<180°),點P為直線BC上一動點(不與點B,C重合),連接AP,將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)α度得到線段PQ,連接CQ.
(1)當α=90°,且點P在線段BC上時,過P作PF∥AC交直線AB于點F,如圖1,圖中與△APF全等的是哪個三角形,∠ACQ的度數(shù).
(2)當點P在BC延長線上,AB:AC=m:n時,如圖2,試求線段BP與CQ的比值;
(3)當點P在直線BC上,α=60°,∠APB=30°,CP=4時,請直接寫出線段CQ的長.
【答案】(1)△PQC,90;(2);(3)線段CQ的長為2或8.
【解析】
(1)依據(jù)條件判定△APF≌△PQC,可得∠PCQ=∠AFP=135°,依據(jù)∠ACB=45°,可得∠ACQ=90°;
(2)過P作PF∥AC,交BA的延長線于F,判定△AFP≌△PCQ,可得FP=CQ,再根據(jù)△ABC∽△FBP,可得,進而得出 ;
(3)分兩種情況進行討論:點P在CB的延長線上,點P在BC的延長線上,分別依據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì),即可得到線段CQ的長.
(1)如圖①,∵∠ABC=90°,AB=CB,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∵PF∥AC,
∴∠BPF=∠BFP=45°,
∴△BPF是等腰直角三角形,
∴BF=BP,
∴AF=CP,
由旋轉(zhuǎn)可得,AP=PQ,∠APQ=90°,而∠BPF=45°,
∴∠QPC=45°﹣∠APF,
又∵∠PAF=∠PFB﹣∠APF=45°﹣∠APF,
∴∠PAF=∠QPC,
∴△APF≌△PQC(SAS)
∴∠PCQ=∠AFP=135°,
又∵∠ACB=45°,
∴∠ACQ=90°,
故答案為:△PQC,90;
(2)如圖②,過P作PF∥AC,交BA的延長線于F,則,
又∵AB=BC,
∴AF=CP,
又∵∠FAP=∠ABC+∠APB=α+∠APB,∠CPQ=∠APQ+∠APB=α+∠APB,
∴∠FAP=∠CPQ,
由旋轉(zhuǎn)可得,PA=PQ,
∴△AFP≌△PCQ(SAS),
∴FP=CQ,
∵PF∥AC,
∴△ABC∽△FBP,
∴
∴;
(3)如圖,當P在CB的延長線上時,
∵∠CPQ=∠APQ﹣∠APB=60°﹣30°=30°,
∴∠APC=∠QPC,
又∵AP=QP,PC=PC,
∴△APC≌△QPC(SAS),
∴CQ=AC,
又∵BA=BC,∠ABC=60°,
∴△ABC是等邊三角形,
∴∠ABC=60°,∠BAP=∠ABC﹣∠APB=30°,
∴BP=AB=BC=PC=2,
∴QC=AC=BC=2;
如圖,當P在BC的延長線上時,連接AQ,
由旋轉(zhuǎn)可得,AP=QP,∠APQ=∠ABC=60°,
∴△APQ是等邊三角形,
∴AQ=PQ,∠APQ=60°=∠AQP,
又∵∠APB=30°,∠ACB=60°,
∴∠CAP=30°,∠CPQ=90°,
∴∠CAP=∠APA,
∴AC=PC,且AQ=PQ,CQ=CQ
∴△ACQ≌△PCQ(SSS)
∴∠AQC=∠PQC=∠AQP=30°,
∴Rt△PCQ中,CQ=2CP=8.
綜上所述,線段CQ的長為2或8.
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【題目】如圖,已知反比例函數(shù)y1=與一次函數(shù)y2=k2x+b的圖象交于點A(1,8),B(-4,m)兩點.
(1)求k1,k2,b的值;
(2)求△AOB的面積;
(3)請直接寫出不等式x+b的解.
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【題目】在四張編號為A,B,C,D的卡片(除編號外,其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后,背面向上,洗勻放好.
(1)我們知道,滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù),嘉嘉從中隨機抽取一張,求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1;
(2)琪琪從中隨機抽取一張(不放回),再從剩下的卡片中隨機抽取一張(卡片用A,B,C,D表示).請用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2,并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎?
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【題目】如圖,線段BC長為13,以C為頂點,CB為一邊的∠α滿足cosα=.銳角△ABC的頂點A落在∠α的另一邊上,且滿足sinA=.求△ABC的高BD及AB邊的長,并結(jié)合你的計算過程畫出高BD及AB邊.(圖中提供的單位長度供補全圖形使用)
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【題目】在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”用現(xiàn)代語言表述為:如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,AE = 1寸,CD = 10寸,求直徑AB的長.請你解答這個問題.
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【題目】在我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了這樣一個問題:“今有圓材,埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長一尺,問徑幾何?”用現(xiàn)代語言表述為:如圖,AB為⊙O的直徑,弦CD⊥AB于點E,AE = 1寸,CD = 10寸,求直徑AB的長.請你解答這個問題.
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【題目】最近央視紀錄片《航拍中國》中各地的美景震撼了全國觀眾,如圖是航拍無人機從A點俯拍在坡比為3:4的斜坡CD上的景點C,此時的俯角為30°,為取得更震撼的拍攝效果,無人機升高200米到達B點,此時的俯角變?yōu)?/span>45°.已知無人機與斜坡CD的坡底D的水平距離DE為400米,則斜坡CD的長度為( 。┟祝ň_到0.1米,參考數(shù)據(jù):≈1.41,≈1.73)
A. 91.1 B. 91.3 C. 58.2 D. 58.4
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【題目】中考英語聽力測試期間T需要杜絕考點周圍的噪音.如圖,點A是某市一中考考點,在位于考點南偏西15°方向距離500米的C點處有一消防隊.在聽力考試期間,消防隊突然接到報警電話,消防車需沿北偏東75°方向的公路CF前往救援.已知消防車的警報聲傳播半徑為400米,若消防車的警報聲對聽力測試造成影響,則消防車必須改道行駛.試問:消防車是否需要改道行駛?
說明理由.(≈1.732)
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【題目】如圖,過正方形ABCD的頂點B作直線l,過點A,C作直線l的垂線,垂足分別為E,F(xiàn),直線AE交CD于點G.
(1)求證:△ABE≌△BCF;
(2)若∠CBF=65°,求∠AGC的度數(shù).
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